350px|miniatura|Representação (a azul) do logaritmo de para a curva elíptica baseada no eixo vertical, onde passa pelo primeiro milhão de números primos. No eixo horizontal está desenhado , de modo que a conjectura BSD prevê uma aproximação à reta desenhada a vermelho (inclinação igual ao posto da curva, aqui 1). 350px|miniatura|Gráfico da função L para com um zero simples em . A conjectura BSD prevê que os pontos racionais nesta curva se situam essencialmente num "raio" – uma estrutura unidimensional.
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, abreviada como BSD, é um dos problemas não resolvidos mais importantes da matemática moderna e estabelece proposições referentes à Teoria dos números em curvas elípticas. Foi nomeada em homenagem aos matemáticos Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer, que a formularam pela primeira vez no ano de 1965, baseando a sua conjectura numa série de cálculos iniciados já em 1958 nos computadores EDSAC. Estes cálculos tinham como objetivo descobrir uma "teoria análoga" para as curvas elípticas à fórmula do número de classes de Dirichlet. A conjectura foi incluída na lista dos sete Problemas do Milénio da matemática pelo Instituto Clay de Matemática no ano 2000. O instituto, localizado em Cambridge (Massachusetts), estipulou, a este propósito, um prémio monetário de um milhão de dólares americanos para uma solução conclusiva do problema sob a forma de uma prova matemática. No entanto, relativamente à descoberta de potenciais contraexemplos, existem regras especiais estipuladas para a adjudicação do prémio, particularmente se estes tiverem sido obtidos recorrendo à velocidade de processamento de computadores modernos e não puderem fornecer qualquer "visão profunda" sobre o problema.
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é de grande interesse para os matemáticos, uma vez que estabelece uma relação surpreendente e muito profunda entre duas teorias matemáticas distintas, nomeadamente a Análise complexa e a Teoria dos números. A resolução do problema exigiria forçosamente, por conseguinte, a revelação de estruturas até agora totalmente desconhecidas e extremamente profundas na "arquitetura da matemática". A este respeito, ajuda a conceber a matemática como uma teia de inúmeros "pontos" (= proposições), que estão parcialmente ligados de forma direta entre si por "setas" (= inferências lógicas). As pontes entre duas teorias outrora completamente distintas ajudam agora a obter numerosas "novas setas" neste grafo, resultando na resolução de muitos mais problemas e no surgimento de algumas novas possibilidades de aplicação. Neste contexto, não surpreende que a construção precisa destas pontes constitua uma tarefa matemática de excecional dificuldade.
Se a conjectura se revelar verdadeira, existe uma estreita relação entre o número de soluções de determinadas equações e o comportamento do zero (raiz) de certas funções matemáticas associadas precisamente a essas equações. O estudo das equações é o tema central da Álgebra. Contudo, exige-se na formulação do problema que as soluções sejam números racionais, isto é, quocientes de números inteiros. Isto introduz na equação, para além da Álgebra, a disciplina matemática da Teoria dos números. Pelo contrário, as funções matemáticas fazem parte da Análise, que lida com aspetos como a continuidade, zeros e igualmente o Cálculo diferencial. Assim, o grande desafio reside em unificar estes campos matemáticos completamente distintos – a Teoria dos Números e a Análise – no quadro de uma questão extremamente complexa. Em termos breves, a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer enuncia que a frequência das soluções de determinadas equações, de grande importância para a matemática, pode ser percecionada através da ordem do zero das funções correspondentes a estas equações no ponto .
Em termos concretos, o problema estipula: Seja uma curva elíptica sobre os números racionais e a sua Função L (a variável é comum neste contexto). De acordo com o teorema de Mordell, o conjunto de todos os pontos racionais constitui a estrutura de um grupo abeliano finitamente gerado, sendo, portanto, isomorfo a , onde denota a parte de torção de e é o chamado posto de . A conjectura defende que deve aplicar-se . Aqui, de forma genérica, denota a ordem do zero de uma função matemática no ponto .
Para além da mera indicação de uma correlação entre postos e ordens de zeros, o problema aprofunda-se ainda mais. Uma grandeza particularmente importante neste caso é o Grupo de Tate-Shafarevich de uma curva elíptica. Ele mede quão severamente o chamado Princípio local-global falha nesta curva. O objeto da conjectura forte de Birch e Swinnerton-Dyer é que o grupo de Tate-Shafarevich de curvas elípticas é sempre finito e que a sua dimensão (cardinalidade), em conjunto com outros invariantes da curva, está codificada na expansão de Taylor da função L no ponto .
Apesar dos enormes esforços encetados, ainda se está muito longe da resolução do problema até aos dias de hoje. No entanto, na segunda metade do século XX, foi possível decidir positivamente a conjectura para os postos e . Ademais, existe forte evidência numérica que sustenta a conjectura também para os postos e torna plausível a sua correção. Resultados teóricos para postos , na perspetiva dos especialistas e devido ao fracasso do método do ponto de Heegner, ainda não foram alcançados até ao presente, mesmo ao nível de curvas individuais. Recentemente, têm sido também cada vez mais utilizados métodos no âmbito da Inteligência artificial, na esperança de se encontrarem as estruturas por detrás da distribuição dos postos de curvas elípticas.
Descrição do problema A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer prevê que o número de soluções para certas equações pode ser encontrado em áreas da matemática moderna onde não se espera lidar com elas. Esta é, simultaneamente, a razão pela qual é considerada tão difícil de provar: até hoje, não se dispõe de nenhuma teoria que consiga fornecer uma explicação para esta conexão. As teorias matemáticas baseiam-se em Axiomas (premissas fundamentais) que são assumidos como verdadeiros, mas que no entanto "simplesmente estão lá", e por isso é frequente até ao presente que tenham sido formulados problemas que só foram encontrados ou resolvidos muito depois da fundação da metodologia matemática. Isso é comparável ao jogo de Xadrez: com a indicação das suas regras simples, o jogo está "totalmente disponível", mas ainda assim, até hoje, não foi "resolvido" no sentido de que não existe um "jogador de xadrez perfeito". miniaturadaimagem|Imagem 1: Gráfico da reta . A designação "reta" provém do formato da curva. miniaturadaimagem|Imagem 2: Gráfico da curva elíptica Para contextualizar a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, é fundamental compreender o conceito de equação matemática. Exemplos de equações são , e . Nesta última, o símbolo tem primeiro de ser tornado "visível", antes que, com , a relação simples seja finalmente reconhecida de forma clara. As equações podem ser manipuladas. A ideia subjacente é que, se duas grandezas idênticas forem manipuladas de forma idêntica, os resultados também têm de ser idênticos. Se somarmos a ambos os lados de , obtemos – novamente uma equação válida. Se dividirmos por em ambos os lados, obtemos , o que tem a vantagem de tornar "visível" a grandeza já inequivocamente determinada. Em muitos problemas da prática científica, equações abstratas surgem a partir de relações conhecidas entre grandezas inicialmente desconhecidas, e por isso as técnicas para resolvê-las revestem-se de grande importância: as relações causais desenvolvidas no seio de uma teoria científica "forçam" as grandezas a um espaço limitado de possibilidades, mas é apenas a resolução das equações resultantes que torna essas poucas possibilidades "visíveis".
A conjectura lida com um tipo muito específico de equações que desempenham um papel especial na matemática – inclusive no que diz respeito às suas aplicações. Elas são designadas por curvas elípticas. A rigor, a palavra "equação" descreve-as de forma insuficiente: a palavra curva, por outro lado, especifica que uma curva elíptica se trata de uma coleção de todas as soluções de uma equação muito específica com duas incógnitas no espaço, que possui uma forma "curvilínea" como figura geométrica.
Este conceito não é de forma alguma novo, mesmo do ponto de vista da matemática escolar: uma Reta – o protótipo da mais "simples" de todas as curvas – consiste em todos os pontos que resolvem em conjunto uma equação da forma
com números fixos (onde as componentes e são inseridas individualmente como números).
Devido ao fato de que duas grandezas, especificamente e , não são explicitamente nomeadas, espera-se um número maior de soluções. Como exemplo, podemos considerar o caso : soluções "completamente visíveis" nomeiam ambas as incógnitas, aqui por exemplo , ou . Somente a criação de duas dimensões – isto é, uma "dimensão x" e uma "dimensão y" – permite compreender este coletivo na sua totalidade (ver Imagem 1). Além disso, devido a , não se trata de nada mais do que uma listagem tabular de todos os pontos da forma .Serge Lang: A First Course in Calculus. Fifth Edition, Nova York 1986, p. 24. Do ponto de vista geométrico, é natural designar a curva resultante como uma reta.
As curvas elípticas, por outro lado, são uma coleção de pontos que satisfazem em conjunto uma Equação cúbica, a qual é geralmente escrita na forma
com números fixos .Através da mudança de variáveis e com unidades , as curvas da forma mais geral com uma unidade também são incluídas.
Os números e são racionais e, devido à sua arbitrariedade,Na verdade, não são totalmente arbitrários: o Discriminante do polinômio não deve ser zero. existe uma "família infinita" de curvas elípticas:
e um número ilimitado de outros exemplos. O exemplo será doravante utilizado com mais frequência para fins de ilustração.
Tal como no caso das retas, apenas as quatro operações aritméticas básicas são utilizadas na construção de curvas elípticas. Por conseguinte, tal como as retas, elas contam-se entre as curvas algébricas. Como em qualquer equação geral, podemos perguntar pelas soluções. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é, contudo, um problema de teoria dos números. O interesse principal reside, portanto, nas soluções racionais das equações, que correspondem então a pontos com formas como
ou .
O interesse centra-se, assim, exclusivamente nos pontos racionais.
miniatura|direita|A curva elíptica com todos os seus pontos racionais Exemplo: O ponto racional (ou seja, e ) encontra-se na curva elíptica , pois verifica-se que (em ambos os lados o resultado é ). De notar que e analogamente . É igualmente rápido verificar que os pontos racionais , , e também se encontram na curva.
De fato, estes 5 exemplos são – se não considerarmos um "ponto no infinito" que não está incluído no gráfico – os únicos pontos racionais na curva elíptica , pelo que nenhuma combinação de números racionais, além dos mencionados acima, satisfará a equação.Elliptic curve with LMFDB label 20.a3. The L-functions and modular forms database (LMFDB), acessado em 26 de dezembro de 2023. Contudo, constatar isso é uma tarefa matematicamente difícil.