Em matemática, o grupo linear especial **SL(2, R)** ou **SL2(R)** é o grupo de matrizes reais 2 × 2 com determinante igual a um:
Trata-se de um grupo de Lie real simples, não compacto e conexo de dimensão 3, com aplicações em geometria, topologia, teoria de representação e física.
O SL(2, R) atua no semiplano superior complexo por transformações lineares fracionárias. A ação de grupo fatora-se através do quociente PSL(2, R) (o grupo projetivo linear especial 2 × 2 sobre R). Mais especificamente, PSL(2, R) = SL(2, R) / {±I}, onde I denota a matriz identidade 2 × 2. Ele contém o grupo modular PSL(2, Z).
Também intimamente relacionado está o grupo de recobrimento duplo Mp(2, R), um grupo metaplético (pensando no SL(2, R) como um grupo simpLético).
Outro grupo relacionado é o SL±(2, R), o grupo de matrizes reais 2 × 2 com determinante ±1; no entanto, este é mais comumente usado no contexto do grupo modular.
Descrições
O SL(2, R) é o grupo de todas as transformações lineares de R2 que preservam a área orientada. É isomorfo ao grupo simpLético Sp(2, R) e ao grupo especial unitário SU(1, 1). É também isomorfo ao grupo de quatérnios divididos (coquatérnios) de comprimento unitário. O grupo SL±(2, R) preserva a área não orientada: ele pode reverter a orientação.
O quociente PSL(2, R) possui várias descrições interessantes, a menos de isomorfismo de grupos de Lie: É o grupo de transformações projetivas que preservam a orientação da reta projetiva real É o grupo de automorfismos conformes do disco unitário. É o grupo de isometrias que preservam a orientação do plano hiperbólico. É o grupo de Lorentz restrito do espaço de Minkowski tridimensional. Equivalentemente, é isomorfo ao grupo ortogonal indefinido SO+(1,2). Segue-se que o SL(2, R) é isomorfo ao grupo spin Spin(2,1)+.
Os elementos do grupo modular PSL(2, Z) possuem interpretações adicionais, assim como os elementos do grupo SL(2, Z) (como transformações lineares do toro), e essas interpretações também podem ser vistas à luz da teoria geral do SL(2, R).
Homografias Os elementos de PSL(2, R) são homografias na reta projetiva real }:
Essas transformações projetivas formam um subgrupo de PSL(2, C), que atua na esfera de Riemann por transformações de Möbius.
Quando a reta real é considerada a fronteira do plano hiperbólico, o PSL(2, R) expressa movimentos hiperbólicos.
Transformações de Möbius Os elementos de PSL(2, R) atuam no plano complexo por transformações de Möbius:
Este é precisamente o conjunto de transformações de Möbius que preservam o semiplano superior. Segue-se que o PSL(2, R) é o grupo de automorfismos conformes do semiplano superior. Pelo teorema da representação conforme de Riemann, ele também é isomorfo ao grupo de automorfismos conformes do disco unitário.
Essas transformações de Möbius atuam como as isometrias do modelo do semiplano superior do espaço hiperbólico, e as transformações de Möbius correspondentes do disco são as isometrias hiperbólicas do modelo do disco de Poincaré.
A fórmula acima também pode ser usada para definir transformações de Möbius de números duais e números complexos hiperbólicos (ou duplos). As geometrias correspondentes possuem relações não triviais com a geometria de Lobachevsky.
Representação adjunta O grupo SL(2, R) atua em sua álgebra de Lie sl(2, R) por conjugação (lembrando que os elementos da álgebra de Lie também são matrizes 2 × 2), fornecendo uma representação linear fiel de dimensão 3 de PSL(2, R). Isso pode ser descrito alternativamente como a ação de PSL(2, R) no espaço de formas quadráticas em R2. O resultado é a seguinte representação:
A forma de Killing em sl(2, R) possui assinatura (2,1) e induz um isomorfismo entre PSL(2, R) e o grupo de Lorentz SO+(2,1). Esta ação de PSL(2, R) no espaço de Minkowski restringe-se à ação isométrica de PSL(2, R) no modelo do hiperboloide do plano hiperbólico.
Classificação dos elementos Os autovalores de um elemento A ∈ SL(2, R) satisfazem o polinômio característico
e, portanto,
Isso leva à seguinte classificação dos elementos, com a ação correspondente no plano euclidiano: Se , então A é chamado elíptico e é conjugado a uma rotação. Se , então A é chamado parabólico e é um cisalhamento. Se , então A é chamado hiperbólico e é um mapeamento de compressão (squeeze mapping).
Os nomes correspondem à classificação das seções cônicas pela excentricidade: se for definida a excentricidade como a metade do valor absoluto do traço (; dividir por 2 corrige o efeito da dimensão, enquanto o valor absoluto corresponde a ignorar um fator geral de ±1, como quando se trabalha em PSL(2, R)), obtém-se: , elíptico; , parabólico; , hiperbólico.
O elemento identidade 1 e o elemento identidade negativo −1 (em PSL(2, R) eles são o mesmo) possuem traço ±2 e, portanto, por esta classificação, são elementos parabólicos, embora frequentemente sejam considerados separadamente.
A mesma classificação é usada para SL(2, C) e PSL(2, C) (transformações de Möbius) e PSL(2, R) (transformações de Möbius reais), com a adição das transformações "loxodrômicas" correspondentes a traços complexos; classificações análogas são usadas em outros contextos.
Um subgrupo que está contido apenas com elementos elípticos (respectivamente, parabólicos, hiperbólicos), mais a identidade e a identidade negativa, é chamado de subgrupo elíptico (respectivamente, subgrupo parabólico, subgrupo hiperbólico).
A tricotomia do SL(2, R) em elementos elípticos, parabólicos e hiperbólicos é uma classificação em subconjuntos, não em subgrupos: esses conjuntos não são fechados sob multiplicação (o produto de dois elementos parabólicos não precisa ser parabólico, e assim por diante). No entanto, cada elemento é conjugado a um membro de um dos 3 subgrupos a um parâmetro padrão (possivelmente multiplicado por ±1), conforme detalhado abaixo.
Topologicamente, como o traço é uma aplicação contínua, os elementos elípticos (excluindo ±1) formam um conjunto aberto, assim como os elementos hiperbólicos (excluindo ±1). Em contraste, os elementos parabólicos, juntamente com ±1, formam um conjunto fechado que não é aberto.
Elementos elípticos Os autovalores de um elemento elíptico são ambos complexos e são valores conjugados no círculo unitário. Tal elemento é conjugado a uma rotação do plano euclidiano – eles podem ser interpretados como rotações em uma base possivelmente não ortogonal – e o elemento correspondente de PSL(2, R) atua como (conjugado a) uma rotação do plano hiperbólico e do espaço de Minkowski.
Elementos elípticos do grupo modular devem ter autovalores {ω, ω−1}, onde ω é uma raiz da unidade primitiva de 3.ª, 4.ª ou 6.ª ordem. Estes são todos os elementos de ordem finita do grupo modular, e atuam no toro como difeomorfismos periódicos.
Elementos de traço 0 podem ser chamados de "elementos circulares" (por analogia com a excentricidade), mas isso é raramente feito; eles correspondem a elementos com autovalores ±i, são conjugados à rotação de 90° e têm quadrado igual a -I: são as involuções não identidades em PSL(2).
Elementos elípticos são conjugados no subgrupo de rotações do plano euclidiano, o grupo ortogonal especial SO(2); o ângulo de rotação é o arco cosseno da metade do traço, com o sinal da rotação determinado pela orientação. (Uma rotação e sua inversa são conjugadas em GL(2), mas não em SL(2).)
Elementos parabólicos Um elemento parabólico possui apenas um único autovalor, que é 1 ou -1. Tal elemento atua como um cisalhamento no plano euclidiano, e o elemento correspondente de PSL(2, R) atua como uma rotação limite do plano hiperbólico e como uma rotação nula do espaço de Minkowski.
Elementos parabólicos do grupo modular atuam como torções de Dehn do toro.
Elementos parabólicos são conjugados no grupo de 2 componentes de cisalhamentos padrão × ±I: . De fato, todos são conjugados (em SL(2)) a uma das quatro matrizes , (em GL(2) ou SL±(2), o ± pode ser omitido, mas em SL(2) não).
Elementos hiperbólicos Os autovalores de um elemento hiperbólico são ambos reais e inversos entre si. Tal elemento atua como um mapeamento de compressão do plano euclidiano, e o elemento correspondente de PSL(2, R) atua como uma traslação do plano hiperbólico e como um impulso de Lorentz no espaço de Minkowski.
Elementos hiperbólicos do grupo modular atuam como difeomorfismos de Anosov do toro.
Elementos hiperbólicos são conjugados no grupo de 2 componentes de compressões padrão × ±I: ; o ângulo hiperbólico da rotação hiperbólica é dado pelo arco cosseno hiperbólico da metade do traço, mas o sinal pode ser positivo ou negativo: em contraste com o caso elíptico, uma compressão e sua inversa são conjugadas em SL(2) (por uma rotação nos eixos; para eixos padrão, uma rotação de 90°).
Classes de conjugação Pela forma normal de Jordan, matrizes são classificadas a menos de conjugação (em GL(n, C)) por autovalores e nilpotência (concretamente, nilpotência significa onde os 1s ocorrem nos blocos de Jordan). Assim, os elementos de SL(2) são classificados a menos de conjugação em GL(2) (ou mesmo em SL±(2)) pelo traço (uma vez que o determinante é fixo, e o traço e o determinante determinam os autovalores), exceto se os autovalores forem iguais; assim, ±I e os elementos parabólicos de traço +2 e traço -2 não são conjugados (os primeiros não possuem entradas fora da diagonal na forma de Jordan, enquanto os últimos possuem).
A menos de conjugação em SL(2) (em vez de GL(2)), existe um dado adicional, correspondente à orientação: uma rotação no sentido horário e no sentido anti-horário (elíptica) não são conjugadas, nem um cisalhamento positivo e um negativo, conforme detalhado acima; assim, para o valor absoluto do traço menor que 2, existem duas classes de conjugação para cada traço (rotações no sentido horário e anti-horário), para o valor absoluto do traço igual a 2 existem três classes de conjugação para cada traço (cisalhamento positivo, identidade, cisalhamento negativo) e para o valor absoluto do traço maior que 2 existe uma classe de conjugação para um dado traço.
Decomposição de Iwasawa ou KAN
A decomposição de Iwasawa de um grupo é um método para construir o grupo como um produto de três subgrupos de Lie K, A, N. Para , esses três subgrupos são:
Esses três elementos são os geradores dos subconjuntos elípticos, hiperbólicos e parabólicos, respectivamente. Topologia e recobrimento universal Como espaço topológico, o PSL(2, R) pode ser descrito como o fibrado tangente unitário do plano hiperbólico. É um fibrado em círculos e possui uma estrutura de contacto natural induzida pela estrutura simpLética do plano hiperbólico. O SL(2, R) é um recobrimento duplo do PSL(2, R) e pode ser pensado como o fibrado de espinores no plano hiperbólico.
O grupo fundamental de SL(2, R) é o grupo cíclico infinito Z. O grupo de recobrimento universal, denotado por , é um exemplo de grupo de Lie de dimensão finita que não é um grupo de matrizes. Ou seja, não admite nenhuma representação de dimensão finita e fiel.
Como espaço topológico, é um fibrado em retas sobre o plano hiperbólico. Quando dotado de uma métrica riemanniana invariante à esquerda, a 3-variedade torna-se uma das oito geometrias de Thurston. Por exemplo, é o recobrimento universal do fibrado tangente unitário de qualquer superfície de Riemann hiperbólica. Qualquer variedade modelada em é orientável e é um fibrado em círculos sobre algum orbifold hiperbólico bidimensional (um espaço fibrado de Seifert).
thumb|376px|O grupo de tranças B3 é a extensão central universal do grupo modular.
Sob este recobrimento, a pré-imagem do grupo modular PSL(2, Z) é o grupo de tranças em 3 geradores, B3, que é a extensão central universal do grupo modular. Estas são redes dentro dos grupos algébricos relevantes, e isso corresponde algebricamente ao grupo de recobrimento universal na topologia.