Em geometria, uma transformação de Möbius é uma função da forma:
de uma variável complexa z, e onde os coeficientes a, b, c, d são números complexos que verificam que ad − bc ≠ 0.
Geometricamente uma transformação de Möbius pode ser descrita aplicando a projeção estereográfica inversa do plano para a esfera unitária, movendo e girando a esfera para uma nova posição e orientação no espaço e, em seguida, aplicando uma projeção estereográfica para mapear da esfera de volta para o plano.
Tais transformações são conformes e portanto preservam ângulos. Também, transformam linhas em circunferências e vice-versa.
Pontos fixos Cada transformação de Möbius que não seja a identidade possui dois pontos fixos na esfera de Riemann. Os pontos fixos são contados aqui com multiplicidade; as são aquelas em que os pontos fixos coincidem. Um ou ambos os pontos fixos podem ser o ponto no infinito.
Determinando os pontos fixos Os pontos fixos da transformação
são obtidos resolvendo a equação de ponto fixo . Para , esta possui duas raízes obtidas ao expandir esta equação para
e aplicando a fórmula quadrática. As raízes são
com o discriminante
onde a matriz
representa a transformação.
As transformações parabólicas possuem pontos fixos coincidentes devido ao discriminante zero. Para c não nulo e discriminante não nulo, a transformação é elíptica ou hiperbólica.
Quando , a equação quadrática degenera em uma equação linear e a transformação é linear. Isso corresponde à situação em que um dos pontos fixos é o ponto no infinito. Quando , o segundo ponto fixo é finito e é dado por
Neste caso, a transformação será uma transformação simples composta de translações, rotações e dilatações:
Se e , então ambos os pontos fixos estão no infinito, e a transformação de Möbius corresponde a uma translação pura:
Prova topológica Topologicamente, o fato de que as transformações de Möbius (que não são a identidade) fixam 2 pontos (com multiplicidade) corresponde à característica de Euler da esfera ser 2:
Primeiramente, o grupo linear projetivo é estritamente 3-transitivo – para quaisquer dois triplos ordenados de pontos distintos, existe uma única aplicação que leva um triplo ao outro, assim como nas transformações de Möbius, e pela mesma prova algébrica (essencialmente contagem de dimensões, já que o grupo é tridimensional). Portanto, qualquer aplicação que fixe pelo menos 3 pontos é a identidade.
Em seguida, pode-se observar, identificando o grupo de Möbius com , que qualquer função de Möbius é homotópica à identidade. De fato, qualquer membro do grupo linear geral pode ser reduzido à aplicação identidade por eliminação de Gauss-Jordan, o que mostra que o grupo linear projetivo também é conexo por caminhos, fornecendo uma homotopia para a aplicação identidade. O teorema de Lefschetz–Hopf afirma que a soma dos índices (neste contexto, multiplicidade) dos pontos fixos de um mapa com finitamente muitos pontos fixos é igual ao número de Lefschetz do mapa, que neste caso é o traço do mapa identidade nos grupos de homologia, que é simplesmente a característica de Euler.
Em contraste, o grupo linear projetivo da reta projetiva real, , não precisa fixar nenhum ponto – por exemplo, não possui pontos fixos (reais): como uma transformação complexa, ela fixa ±iGeometricamente, este mapa é a projeção estereográfica de uma rotação de 90° em torno de ±i com período 4, que leva – enquanto o mapa 2x fixa os dois pontos 0 e ∞. Isso corresponde ao fato de que a característica de Euler do círculo (reta projetiva real) é 0, e assim o teorema do ponto fixo de Lefschetz diz apenas que ele deve fixar pelo menos 0 pontos, mas possivelmente mais.
Forma normal As transformações de Möbius também são por vezes escritas em termos de seus pontos fixos na chamada forma normal. Tratamos primeiro o caso não parabólico, para o qual existem dois pontos fixos distintos.
Caso não parabólico:
Toda transformação não parabólica é conjugada a uma dilatação/rotação, ou seja, uma transformação da forma
com pontos fixos em 0 e ∞. Para ver isto, defina um mapa
que envia os pontos (γ1, γ2) para (0, ∞). Aqui assumimos que γ1 e γ2 são distintos e finitos. Se um deles já estiver no infinito, então g pode ser modificado para fixar o infinito e enviar o outro ponto para 0.
Se f possui pontos fixos distintos (γ1, γ2), então a transformação possui pontos fixos em 0 e ∞ e é, portanto, uma dilatação: . A equação de ponto fixo para a transformação f pode então ser escrita como
Resolvendo para f obtém-se (em forma de matriz):
ou, se um dos pontos fixos estiver no infinito:
A partir das expressões acima, podem-se calcular as derivadas de f nos pontos fixos: e
Observe que, dada uma ordenação dos pontos fixos, podemos distinguir um dos multiplicadores (k) de f como a constante característica de f. Inverter a ordem dos pontos fixos é equivalente a tomar o multiplicador inverso para a constante característica:
Para transformações loxodrômicas, sempre que , diz-se que γ1 é o ponto fixo repulsivo e γ2 é o ponto fixo atrativo. Para , os papéis são invertidos.
Caso parabólico:
No caso parabólico, existe apenas um ponto fixo γ. A transformação que envia esse ponto para ∞ é
ou a identidade se γ já estiver no infinito. A transformação fixa o infinito e é, portanto, uma translação:
Aqui, β é chamado de comprimento de translação. A fórmula do ponto fixo para uma transformação parabólica é então
Resolvendo para f (em forma de matriz), obtém-se Note que
Se :
Note que β não é a constante característica de f, que é sempre 1 para uma transformação parabólica. A partir das expressões acima, pode-se calcular:
Determinando os pontos fixos Os pontos fixos da transformação
são obtidos resolvendo a equação de ponto fixo . Para , esta possui duas raízes obtidas ao expandir esta equação para
e aplicando a fórmula quadrática. As raízes são
com o discriminante
onde a matriz
representa a transformação.
As transformações parabólicas possuem pontos fixos coincidentes devido ao discriminante ser zero. Para c não nulo e discriminante não nulo, a transformação é elíptica ou hiperbólica.
Quando , a equação quadrática degenera em uma equação linear e a transformação é linear. Isso corresponde à situação em que um dos pontos fixos é o ponto no infinito. Quando , o segundo ponto fixo é finito e é dado por
Neste caso, a transformação será uma transformação simples composta de translações, rotações e dilatações:
Se e , então ambos os pontos fixos estão no infinito, e a transformação de Möbius corresponde a uma translação pura:
Prova topológica Topologicamente, o fato de que as transformações de Möbius (que não sejam a identidade) fixam 2 pontos (com multiplicidade) corresponde à característica de Euler da esfera ser 2:
Primeiramente, o grupo linear projetivo é estritamente 3-transitivo – para quaisquer dois triplos ordenados de pontos distintos, existe uma única aplicação que leva um triplo ao outro, assim como nas transformações de Möbius, e pela mesma prova algébrica (essencialmente contagem de dimensões, já que o grupo é tridimensional). Assim, qualquer aplicação que fixe pelo menos 3 pontos é a identidade.
Em seguida, pode-se ver, identificando o grupo de Möbius com , que qualquer função de Möbius é homotópica à identidade. De fato, qualquer membro do grupo linear geral pode ser reduzido à aplicação identidade por eliminação de Gauss-Jordan; isso mostra que o grupo linear projetivo também é conexo por caminhos, fornecendo uma homotopia para a aplicação identidade. O teorema de Lefschetz–Hopf afirma que a soma dos índices (neste contexto, multiplicidade) dos pontos fixos de um mapa com finitamente muitos pontos fixos é igual ao número de Lefschetz do mapa, que neste caso é o traço do mapa identidade nos grupos de homologia, que é simplesmente a característica de Euler.
Em contraste, o grupo linear projetivo da reta projetiva real, , não precisa fixar nenhum ponto – por exemplo, não possui pontos fixos (reais): como uma transformação complexa, ela fixa ±iGeometricamente, este mapa é a projeção estereográfica de uma rotação de 90° em torno de ±i com período 4, que leva – enquanto o mapa 2x fixa os dois pontos 0 e ∞. Isso corresponde ao fato de que a característica de Euler do círculo (reta projetiva real) é 0, e assim o teorema do ponto fixo de Lefschetz diz apenas que ele deve fixar pelo menos 0 pontos, mas possivelmente mais.
Forma normal As transformações de Möbius também são por vezes escritas em termos de seus pontos fixos na chamada forma normal. Tratamos primeiro o caso não parabólico, para o qual existem dois pontos fixos distintos.
Caso não parabólico:
Toda transformação não parabólica é conjugada a uma dilatação/rotação, ou seja, uma transformação da forma
com pontos fixos em 0 e ∞. Para ver isso, defina um mapa
que envia os pontos (γ1, γ2) para (0, ∞). Aqui assumimos que γ1 e γ2 são distintos e finitos. Se um deles já estiver no infinito, então g pode ser modificado para fixar o infinito e enviar o outro ponto para 0.
Se f possui pontos fixos distintos (γ1, γ2), então a transformação possui pontos fixos em 0 e ∞ e é, portanto, uma dilatação: . A equação de ponto fixo para a transformação f pode então ser escrita como
Resolvendo para f obtém-se (em forma de matriz):
ou, se um dos pontos fixos estiver no infinito:
A partir das expressões acima, podem-se calcular as derivadas de f nos pontos fixos: e
Observe que, dada uma ordenação dos pontos fixos, podemos distinguir um dos multiplicadores (k) de f como a constante característica de f. Inverter a ordem dos pontos fixos é equivalente a tomar o multiplicador inverso para a constante característica:
Para transformações loxodrômicas, sempre que , diz-se que γ1 é o ponto fixo repulsivo e γ2 é o ponto fixo atrativo. Para , os papéis são invertidos.
Caso parabólico:
No caso parabólico, existe apenas um ponto fixo γ. A transformação que envia esse ponto para ∞ é
ou a identidade se γ já estiver no infinito. A transformação fixa o infinito e é, portanto, uma translação:
Aqui, β é chamado de comprimento de translação. A fórmula do ponto fixo para uma transformação parabólica é então
Resolvendo para f (em forma de matriz), obtém-se Note que
Se :
Note que β não é a constante característica de f, que é sempre 1 para uma transformação parabólica. A partir das expressões acima, pode-se calcular:
Polos da transformação
O ponto é chamado de polo de ; é o ponto que é transformado no ponto no infinito sob .
O polo inverso é aquele ponto para o qual o ponto no infinito é transformado. O ponto médio entre os dois polos é sempre o mesmo que o ponto médio entre os dois pontos fixos:
Estes quatro pontos são os vértices de um paralelogramo que às vezes é chamado de paralelogramo característico da transformação.
Uma transformação pode ser especificada com dois pontos fixos γ1, γ2 e o polo .
Isso nos permite derivar uma fórmula para a conversão entre k e dados :
que se reduz a:
A última expressão coincide com uma das razões (mutuamente recíprocas) de autovalor de . Seu polinômio característico é igual a:
que possui raízes:
Transformações de Möbius simples e composição
Uma transformação de Möbius pode ser composta como uma sequência de transformações simples.
As seguintes transformações simples também são transformações de Möbius: é uma translação. é uma combinação de uma homotetia (escala uniforme) e uma rotação. Se , então é uma rotação; se , então é uma homotetia. (inversão e reflexão em relação ao eixo real).
Composição de transformações simples
Se , defina as seguintes funções: (translação por d/c) (inversão e reflexão em relação ao eixo real) (homotetia e rotação) (translação por a/c)
Então estas funções podem ser compostas, mostrando que, se
tem-se
Em outros termos, a decomposição em frações parciais resulta em:
com a constante