Na álgebra abstrata, na teoria dos anéis e na física matemática, a álgebra de Weyl (assim nomeada em homenagem ao matemático e físico alemão Hermann Weyl) é a álgebra associativa gerada por operadores de multiplicação por coordenadas e operadores de derivação diferencial. Ela constitui a representação algébrica canônica dos operadores diferenciais lineares com coeficientes polinomiais e formaliza a estrutura da relação de comutação canônica postulada pela mecânica quântica.
Introduzida por Hermann Weyl em 1928 em sua obra pioneira sobre teoria de grupos e mecânica quântica, a álgebra de Weyl desempenha um papel central em múltiplos ramos da matemática moderna, servindo como modelo primordial de anel simples e noetheriano não comutativo na teoria de anéis, como fundamento da teoria de -módulos algébricos na geometria algébrica e na análise algébrica de equações diferenciais, além de estar no cerne de problemas em aberto notáveis, tais como a Conjectura de Dixmier e sua conexão com a Conjectura do Jacobiano.
Definição formal
Primeira álgebra de Weyl: A₁(K) Seja um corpo. A primeira álgebra de Weyl, denotada por (ou simplesmente ), é a -álgebra associativa unitária gerada por dois elementos, tradicionalmente denotados por e (ou e ), sujeitos à relação de comutação canônica:
onde é o elemento identidade da álgebra e denota o comutador. Equivalentemente, pode-se escrever a relação como .
Formalmente, é definida como a álgebra quociente da álgebra livre associativa (não comutativa) de dois geradores pelo ideal bilateral gerado pelo elemento :
Base canônica (Teorema PBW) Como consequência do lema de diamante de Bergman ou do teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt (PBW), o conjunto de todos os monômios ordenados da forma:
constitui uma base vetorial de sobre o corpo . Assim, cada elemento admite uma única representação como uma soma finita:
Álgebra de Weyl de ordem superior: Aₙ(K) Para qualquer número inteiro positivo , a -ésima álgebra de Weyl é a -álgebra associativa unitária gerada por elementos sujeitos às seguintes relações de comutação:
onde denota o delta de Kronecker.
Alternativamente, pode ser construída canonicamente como o produto tensorial de cópias da primeira álgebra de Weyl sobre :
Representação como operadores diferenciais A álgebra de Weyl admite uma representação fiel natural sobre o anel de polinômios em várias variáveis . Cada gerador atua como o operador linear de multiplicação pela coordenada correspondente, e cada atua como o operador de derivação parcial formal :
A comutação entre derivação e multiplicação reproduz a regra do produto (identidade de Leibniz) do cálculo diferencial:
Quando o corpo possui característica zero (), o homomorfismo de álgebra induzido:
é um isomorfismo, o que permite identificar formalmente com a álgebra de todos os operadores diferenciais lineares com coeficientes polinomiais em variáveis.
Propriedades algébricas em característica zero Quando o corpo de base tem característica zero (como os corpos dos números racionais , reais ou complexos ), a álgebra desfruta de propriedades estruturais notáveis:
Simplicidade e centro Simplicidade: é um anel simples, o que significa que seus únicos ideais bilaterais são os ideais triviais e o próprio . Esboço da demonstração: Se for um ideal bilateral não nulo, toma-se um elemento não nulo . Comutando sucessivas vezes com e , o grau em cada variável é estritamente reduzido até se obter um escalar não nulo . Sendo invertível no corpo , conclui-se que , logo . Centro: O centro do anel reduz-se exclusivamente aos escalares:
Elementos invertíveis: Os únicos elementos invertíveis de são os escalares não nulos; ou seja, o grupo de unidades é .
Noetherianidade e domínios de integridade Domínio: é um domínio de integridade (não comutativo), isto é, não contém divisores de zero não nulos: se , então ou . Anel noetheriano: é um anel noetheriano à esquerda e à direita. Essa propriedade pode ser estabelecida observando-se que pode ser estruturado como uma extensão de Ore (álgebra polinomial torcida) sobre o anel de polinômios:
onde a derivação satisfaz a regra de torção . Pelo teorema da base de Hilbert generalizado para extensões de Ore, a noetherianidade é preservada.
Dimensões homológicas e de Gelfand–Kirillov Dimensão de Gelfand–Kirillov: A dimensão de Gelfand–Kirillov de é exatamente o dobro do número de coordenadas:
Dimensão de Krull: A dimensão de Krull (no sentido da teoria não comutativa de Rentschler–Gabriel) é:
Dimensão global: A dimensão homológica global à esquerda e à direita de é finita e igual a :
Álgebra de Weyl em característica positiva O comportamento da álgebra de Weyl em característica prima () difere profundamente do caso de característica zero:
Em característica , ao derivar uma potência de expoente , obtém-se:
Disso decorre que os elementos e (para ) comutam com todos os geradores da álgebra. Consequentemente: Centro infinito-dimensional: O centro da álgebra não se resume aos escalares; ele é gerado pelos elementos com potência :
o que constitui um anel de polinômios clássico em variáveis. Perda da simplicidade: Como o centro é infinito-dimensional sobre , qualquer ideal próprio não nulo do centro gera um ideal bilateral próprio em . Portanto, não é um anel simples em característica . Álgebra de Azumaya: é um módulo finitamente gerado de posto sobre seu centro, configurando uma álgebra de Azumaya sobre o espaço afim correspondente.
Conjectura de Dixmier e a Conjectura do Jacobiano Em 1968, o matemático francês Jacques Dixmier formulou a seguinte questão fundamental sobre a rigidez estrutural da álgebra de Weyl sobre os números complexos:
Conjectura de Dixmier: Todo endomorfismo de álgebra é um automorfismo (isto é, é sobrejetor e admite um inverso que é também um endomorfismo de álgebra).
Como é um anel simples, todo endomorfismo não nulo é automaticamente injetor (). Assim, a conjectura questiona essencialmente se qualquer endomorfismo é obrigatoriamente sobrejetor.
Em 2005, Yoshifumi Tsuchimoto e, independentemente em 2007, Alexei Belov-Kanel e Maxim Kontsevich demonstraram uma profunda equivalência matemática entre essa questão e a geometria algébrica afim: A família de Conjecturas de Dixmier é estavelmente equivalente à família de Conjecturas do Jacobiano . Mais precisamente, para cada , tem-se a cadeia de implicações:
Portanto, a validade da Conjectura de Dixmier em todas as dimensões é equivalente à validade universal da Conjectura do Jacobiano.
Teoria de D-módulos e módulos holonômicos Em característica zero, os módulos à esquerda sobre a álgebra de Weyl coincidem com os chamados -módulos algébricos sobre o espaço afim complexo . Essa correspondência constitui a base moderna para o estudo algébrico de sistemas lineares de equações diferenciais parciais.
Desigualdade de Bernstein Em 1971, o matemático Joseph Bernstein estabeleceu uma limitação fundamental para a dimensão de módulos sobre a álgebra de Weyl sobre corpos de característica zero: Seja um corpo com e seja um -módulo finitamente gerado não nulo. Então a dimensão de Gelfand–Kirillov de satisfaz:
Módulos holonômicos Seja um corpo de característica zero. Um -módulo finitamente gerado é denominado holonômico se ele for o módulo nulo () ou se a sua dimensão de Gelfand–Kirillov atingir a cota inferior mínima permitida pela desigualdade de Bernstein:
Os módulos holonômicos desfrutam de propriedades fundamentais: Todo módulo holonômico possui comprimento finito na categoria dos -módulos (admite uma série de Jordan–Hölder de comprimento finito); O próprio anel de polinômios é um -módulo holonômico simples de dimensão ; Os módulos holonômicos formam o alicerce da correspondência de Riemann–Hilbert formulada por Masaki Kashiwara e Zoghman Mebkhout na geometria algébrica e teoria da representação.
Estrutura de Lie e subálgebras Sob a operação do comutador , qualquer álgebra associativa adquire naturalmente a estrutura de uma álgebra de Lie. No caso da primeira álgebra de Weyl : O subespaço vetorial gerado pelas combinações lineares dos monômios quadráticos:
satisfaz as relações de comutação canônicas:
formando uma subálgebra de Lie isomorfa à álgebra de Lie simples tridimensional . Essa propriedade conecta as representações da álgebra de Weyl com a teoria de representações de álgebras de Lie semissimples, com extensões naturais para grupos simpléticos e álgebras de Clifford por meio da representação metaplética.
Conexão com a mecânica quântica Na formulação de Schrödinger da mecânica quântica, os operadores de posição e momento linear de uma partícula satisfazem a relação de comutação canônica de Heisenberg:
onde é a constante reduzida de Planck e é o operador identidade.
Se definirmos os operadores normalizados e , obtém-se exatamente:
o que significa que a álgebra de operadores gerada pelas observáveis quânticas fundamentais de posição e momento é uma realização física e geométrica da álgebra de Weyl .
Pelo teorema de Stone-von Neumann, sob a condição de integrabilidade para operadores unitários (representação de Weyl na forma exponencial ), a representação ordinária de Schrödinger sobre o espaço de Hilbert é, a menos de equivalência unitária, a única representação unitária irredutível da álgebra de relações de comutação canônica para um número finito de graus de liberdade.
Ver também Hermann Weyl Mecânica quântica Anel noetheriano
Bibliografia
Categoria:Álgebras Categoria:Operadores diferenciais Categoria:Teoria dos anéis Categoria:Física matemática