miniaturadaimagem|272x272px|O teorema apresenta que atravessa o segmento O teorema das barras cruzadas ou teorema da barra transversal é um teorema de geometria que se enuncia da seguinte forma:
De forma análoga, o teorema pode ser descrito como:
Demonstração Vamos utilizar uma demonstração idealizada por Bruce Conrad, professor da Universidade Temple, traduzida por Severino Toscano do Rego Melo, professor do Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade de São Paulo.
Conceitos iniciais Para a demonstração de Conrad e Melo, vamos utilizar três axiomas:
(B2): dados dois pontos e , existem , e tais que , e . (B4): seja uma reta e , e pontos fora dessa reta. (i) se os pontos e estão do mesmo lado da reta , e os pontos e estão do mesmo lado da reta , e também estão. (ii) Se os pontos e estão em lados opostos da reta , e os pontos e estão em lados opostos da reta , e também estão do mesmo lado da reta . Axioma de Pasch: Dados três pontos , e , não colineares e uma reta no plano determinado por estes três pontos, e que não contém nenhum deles, se passa por um ponto de então também passa por um ponto de ou de .
É necessário uma preposição:
Preposição I: Suponha que e seja a reta que passa por esses três pontos. Então temos: está em .
Por fim, é necessário um lema:
Lema I: Sejam uma reta, um ponto em e um ponto fora. Seja um ponto distinto de na semirreta . Então, e estão do mesmo lado de .
Demonstração do teorema
Para provar o teorema, vamos começar utilizando o axioma (B2). Assim, existe um ponto tal que . A reta que passa por e cruza o segmento em . Os pontos , e não são colineares, pois esta na reta e não está.
Seguindo do Axioma de Pasch aplicado aos pontos , e que a reta cruza o segmento ou o . Seja um ponto tal que . Segue, da preposição I, que todo ponto da reta pertence a ou a .
Assim, para provar que cruza , há de provar que não cruza , que não cruza , e que não cruza .
O segmento e a reta se encontram em . Logo, e estão em lados opostos da reta . Seguindo a hipótese, e estão do mesmo lado da reta . Logo, e estão em lados opostos de . Pelo lema I e pelo axioma (B4), se existem e tais que e , então e estão em lados opostos da reta , além disso , e portanto não cruza com .
De forma análoga, é possível demonstrar que não cruza , e que não cruza .
Importância O teorema é descrito como um dos mais importantes na geometria axiomática plana. É amplamente utilizado em provas para justificar que uma reta, ao atravessar um vértice de um triângulo e ao passar para o interior do triângulo, atinge o segmento de reta do triângulo oposto ao vértice. Essa propriedade era muito utilizada por Euclides em suas demonstrações, mas sem justificativa.
Ver também Axioma de Pasch Segmento de reta
Bibliografia Greengerg M., Geometrias euclidiana e não-euclidiana, WH Freeman and Company, Nova Iorque 2003.
Ligações externas
Barras cruzadas Barras cruzadas