thumb|Representação gráfica de um vetor.
Em geometria analítica, um vetor é uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados, que possuem todos a mesma intensidade (também designada por norma ou módulo), mesma direção e mesmo sentido.SANTOS, Reginaldo J. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Minas Gerais: UFMG, 2010. 709 págs. ISBN 85-7470-014-2. Acesso em 17 jan. 2011. Em alguns dos casos, a expressão vetor espacial também é utilizada.
Neste contexto, um vetor pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado, que seja membro da classe deste vetor (isto é, por qualquer segmento de reta orientado que possua o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da referida classe). Se o segmento (segmento de reta orientado do ponto A para o ponto B) for um representante do vetor então podemos dizer que o vetor é igual ao vetor
Podemos ainda representar um vetor como um número complexo na forma , onde representa a abcissa e representa a ordenada desse vetor.
Definição formal Um vetor é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados de ,CRUZ, Luiz Francisco da. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da UNESP, Cap. 1, pág. 5. Acesso em 09/05/2011. em que representa um espaço vetorial de n dimensões. Assim sendo, em um espaço vetorial de 3 dimensões (), cada vetor será dotado de três coordenadas, comumente denominadas x, y e z.
Importância dos vetores Os vetores desempenham um papel importante na física: velocidade e aceleração de um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. Os componentes de um vetor dependem do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Outros objetos usados para descrever quantidades físicas são os pseudovetores e tensores.
Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se constrói o Cálculo Vetorial.
Módulo ou norma do vetor O módulo, norma, magnitude ou intensidade, de um vetor representa-se por e corresponde, do ponto de vista geométrico, ao seu comprimento (que, na figura acima, seria a distância AB).
Fórmula de cálculo (para uma base ortonormal):
(dedução a partir do Teorema de Pitágoras)
Operações com vetores thumb|Adição vetorial pela regra do paralelogramo.Muitas operações algébricas nos números reais possuem formas análogas para vetores. Os vetores podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número e invertidos. Essas operações obedecem às conhecidas leis da álgebra: comutatividade, associatividade e distributividade. A soma de dois vetores com o mesmo ponto inicial pode ser encontrada geometricamente usando a regra do paralelogramo. A multiplicação por um número positivo (comumente chamado escalar), nesse contexto, se resume a alterar a magnitude do vetor, isto é, alongando ou encurtando-o porém mantendo o seu sentido. A multiplicação por -1 preserva a magnitude mas inverte o sentido. As coordenadas cartesianas fornecem uma maneira sistemática de descrever e operar vetores. Como não há a multiplicação nem a divisão, também não há a potenciação nem a radiciação.
Adição A decomposição dos vetores nos seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adição dos vetores.
Observemos o gráfico:
thumb|esquerda|250px|Adição de vetores
Podemos verificar que:
e que:
assim como:
Logo temos que, dados dois vetores:
a sua adição resulta em:
Expandindo para a forma tridimensional temos:
Subtração thumb|150px
Da mesma forma que no caso anterior temos a subtração como já aprendemos, também podemos demonstrar esta propriedade usando a decomposição em triângulos retângulos:
Observemos o gráfico:
thumb|250px|esquerda|Subtração de vetores
Podemos verificar que:
e que:
assim como:
Logo temos que, dados dois vetores:
a sua subtração resulta em:
Expandindo para a forma tridimensional temos:
Multiplicação por escalares thumb|150px Definimos que se expressando apenas valor numérico, então o denominamos escalar.
O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação
que operamos:
onde:
é o vetor resultante; é o vetor parâmetro original; é o escalar.
Esta operação pode ser observada graficamente ao lado:
Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao original, quando multiplicamos um vetor por temos uma inversão de sentido e qualquer valor de escalar diferente de altera a magnitude do vetor.
Produto escalar O produto escalar, também denominado produto interno, é o produto de dois vetores que resulta em um escalar, a operação que define o seu valor definimos abaixo.
Consideremos dois vetores cujos componentes são notados por e respectivamente, sendo uma das dimensões: então o produto escalar é definido como:
Propriedades do produto escalar As propriedades do produto escalar são facilmente demonstráveis e estão na tabela abaixo, na mesma convencionamos que:
são vetores em é um escalar.
PropriedadeOperaçãoProduto nuloComutativa do produto escalarAssociativa entre produto escalar e produto por escalaresDistributivaEscalar quadrado
A demonstração das propriedades não é difícil, uma vez que todas são intuitivas. Para isto, basta efetuar a operação do produto escalar e utilizar regras básicas de operações algébricas.
Produto vetorial As operações com vetores podem, muitas vezes, parecer estranhas a princípio, porém depois que entendemos a sua finalidade e o conceito do fundamento que está por trás de seu comportamento nos habituamos, podendo aproveitar dos recursos que estas operações podem nos oferecer. Um dos cálculos mais intrigantes dentro do universo dos vetores é o chamado produto vetorial, que é definido pela seguinte operação:
Sejam os vetores o produto vetorial dos mesmos é:
A razão desta definição está na operação geométrica entre dois vetores, que neste caso, objetiva-se em encontrar um vetor que seja, ao mesmo tempo, perpendicular aos dois vetores operados. Como a operação resulta em um novo vetor, ela é denominada de produto vetorial.
A operação resume-se em encontrar coordenadas em cada eixo que sejam perpendiculares entre elas e de módulo igual a área formada pelo paralelogramo criado pela imagem dos dois vetores em cada um dos planos primários.
Podemos observar que cada componente é igual à resultante de um determinante, o que nos habilita representá-los da seguinte forma:
Como temos um vetor tridimensional, podemos adotar a notação:
Que pode ser simplificada ainda mais se adotarmos a notação de determinante com três variáveis:
Em decorrência disto, temos um produto que se comporta de maneira idêntica a um determinante, onde todas as propriedades são iguais às apresentadas pelos mesmos.
Propriedades do produto vetorial O produto vetorial é basicamente uma operação em forma de determinante. A tabela abaixo introduz as propriedades do mesmo:
são vetores em é um escalar.
PropriedadeOperaçãoProduto vetorial inversomúltiplo de escalar por produto vetorialDistributiva a direitaDistributiva a esquerdaConversão em vetores com produtos escalares
Ângulo entre dois vetores Observemos o gráfico:
300px
Relação entre o ângulo e o produto escalar de dois vetores
Dados dois vetores é possível demonstrar que o cosseno do ângulo entre os dois vetores é proporcional ao produto interno (escalar), relacionando-se da seguinte forma:
Demonstração
Observemos o gráfico abaixo:
300px
O gráfico mostra dois vetores relacionados pelo ângulo É importante notar que temos um triângulo, que pode ser generalizado pela lei dos cossenos, o que permite fazer a relação entre o ângulo e os dois vetores.
Considerando os vetores na ilustração acima, é possível fazer o cálculo do módulo de sua diferença utilizando a conhecida relação da lei dos cossenos para o triângulo:
Portanto:
Relação entre produto vetorial e ângulo entre vetores Seja os vetores e vetores em é possível provar que o módulo do vetor resultante do produto vetorial destes, é proporcional ao seno do ângulo entre os dois vetores, relacionando-se da seguinte forma:
Comprovação: Façamos a operação conforme indicado na definição para verificar a evolução:
De onde calculamos o seu módulo:
Como já sabemos, podemos aplicar as propriedades já estudadas para os vetores:
Lembremos que, se:
Quando
logo:
Interpretação do produto vetorial O vetor resultante do produto vetorial apresenta módulo igual à área do paralelogramo delimitado pelos dois vetores que lhe deram origem, observemos o gráfico abaixo:
300px|esquerda|Produto vetorial
Como já sabemos, os vetores que mantêm um ângulo entre eles, quando multiplicados, podem ser expressos desta forma:
Considere a seguinte separação:
Muito convenientemente, podemos verificar que é a altura do paralelogramo, que multiplicado pela norma do vetor nos dá a área do paralelogramo. Da mesma forma verifiquemos que o produto vetorial nos fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe deram origem... Façamos:
Pelas propriedades dos determinantes e do produto escalar temos:
Sendo o determinante acima nulo, uma vez que uma das suas linhas é múltipla de outra:
Também teremos o mesmo resultado para o segundo vetor, visto que o mesmo também é uma das linhas do determinante, portanto o produto vetorial fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe deram origem, visto que o cosseno do ângulo é nulo, ou seja, o ângulo é
Ângulos diretores A relação entre produto escalar e cosseno do ângulo entre os vetores nos fornece uma outra possibilidade de referenciar os vetores aos eixos do sistema cartesiano, uma vez que temos versores primários para os eixos, podemos verificar qual o resultado do produto escalar entre estes e um vetor qualquer no espaço. Seja o vetor calculemos o produto escalar entre ele e os vetores relacionados aos eixos:
Para este caso inicialmente façamos uma breve reflexão:
Se para cada vetor de módulo unitário for feita a mesma operação acima, teremos três ângulos para os quais são os ângulos do vetor no espaço em relação aos eixos, por esta razão convencionou-se chamá-los de nomes especiais, que são respectivamente, para os vetores Observemos, também, que a operação será sempre a mesma para cada eixo e o resultado será o valor da componente do vetor para o eixo dividido pela norma do mesmo, o que nos fornece três cossenos:
Os quais chamamos de cossenos diretores, pois direcionam o vetor no espaço sob a referência dos eixos. Em consequência disto, também chamamos os ângulos de ângulos diretores.
Em consequência do que já vimos nas seções anteriores, temos a seguinte equação:
Também temos outra forma de referenciar o vetor, usando os cossenos diretores:
Que será útil em determinadas análises, inclusive quando parâmetros polares forem considerados.
Projeções sobre vetores O produto escalar nos dá a possibilidade de encontrar a projeção de um vetor sobre o outro sem a necessidade de sabermos qual o ângulo entre os dois, isto é possível devido à equivalência algébrica do produto escalar com o cosseno do ângulo entre os dois vetores como vimos anteriormente.
Sejam os vetores o produto escalar dos mesmos é:
de onde concluímos que:
Observando o lado direito da equação observamos que a expressão corresponde à projeção do vetor sobre o vetor porém sob a forma escalar, ou seja, o valor corresponde ao comprimento (norma) da projeção, não contendo a informação acerca da direção e do sentido. Definimos, então, a projeção escalar do vetor sobre o vetor como: