Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair deleIA841 — notas de aula — FEEC. Conceitos elementares de topologia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/notas/cap6.pdf>. Página 12. Acesso em: 20 janeiro 2011..

Espaço conexo Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço)

Definição Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que , e .

Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições: com e não vazios

Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação representa o fecho do conjunto A.

Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.

Teoremas

Teorema 1 Dados dois conjuntos B e C, então se e somente se existem F e G abertos tais que , e .

Teorema 2 Um subconjunto E da reta real é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se , e , então .

Corolário Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.

Teorema 3 A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).

Teorema 4 O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Teorema 5 O produto cartesiano de espaços métricos é conexo se, e somente se, cada fator é conexo.

Exemplos e observações O cilindro C={} é homeomorfo ao produto cartesiano . Como são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo. Um conjunto conexo, se for complementarmente conjunto compacto, definirá um conjunto contínuo. Os conjuntos e são desconexos.

Ver também Conjunto compacto Conjunto contínuo Continuidade Números reais