O teorema dos ângulos externos de um triângulo é um teorema de geometria que diz que o ângulo externo de um triângulo é maior que os dois ângulos internos não adjacentes a ele ou ainda que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Um triângulo tem três vértices. Os lados de um triângulo que se em um vértice e formam um ângulo, que é chamado de ângulo interno.
Na figura abaixo observamos que os ângulos , , são os ângulos internos do triângulo e temos que é um ângulo externo. Assim, um ângulo externo de um triângulo é o ângulo formado pelo prolongamento de um lado e o lado adjacente. O ângulo externo é suplementar ao interno adjacente.
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Na verdade existem dois teoremas do ângulo externo, isto é, dois resultados que associam o ângulo externo aos ângulos internos não adjacentes, porém ambos se complementam e podem ser vistos como um único teorema. São eles: Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes. Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes.
Demonstrações Esses teoremas podem ser demonstrados de diversas formas.
A demonstração mais trivial passa pelo fato de que o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno adjacente.
Partindo-se disso, temos que:
.
Em todo triângulo temos que a soma de todos os ângulo internos é igual a dois ângulos retos, ou um ângulo raso, assim, temos:
.
Podemos isolar o , de modo a obter:
Então aplicaremos essa última relação em e teremos:
Assim, temos que todo ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. Pela condição de existência de um triângulo temos que nenhum dos ângulos internos será nulo, assim também temos que e .
Demonstração de Euclides A prova da preposição 1.16 de Os Elementos de Euclides é muitas vezes citado como um exemplo de demonstração falha do grego.
Euclides constrói a prova para o teorema do ângulo externo a partir de:
construir o ponto médio E no segmento AC; desenhar a reta BE; construir o ponto F no raio BE de tal forma que E seja o ponto médio entre B e F; desenhar o segmento FC.
Pela congruência de triângulos, podemos construir que e é menor que , e como , então é menor que . Podemos provar o mesmo para o ângulo ao dividir o segmento BC ao meio.
A falha reside na suposição de que o ponto F estaria no interior do ângulo . Nenhuma prova é fornecida para essa afirmação, apenas o desenho faz parecer com que a sentença seja verdadeira. Entretanto, quando um conjunto de axiomas da geometria euclidiana é utilizado, essa afirmação de Euclides pode ser provada. miniaturadaimagem|Exemplo de triângulo trirretângulo
Geometria esférica O Teorema dos Ângulos Externos não é satisfeito na geometria esférica, uma vez que é possível construir um triângulo esférico com seus três ângulos retos — chamado de triângulo trirretângulo.
Bibliografia Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India. . oeoe fdr
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