A Notação de seta encadeada de Conway, criada pelo matemático John Horton Conway, é um meio de expressar certos números extremamente grandes. É simplesmente uma seqüência finita de inteiros positivos separados por setas para a direita, por exemplo, 2→3→4→5→6..
Como a maioria das simbologias combinatórias , a definição é recursiva. Neste caso, a notação eventualmente se resolve a ser o número mais à esquerda elevado a alguma potência inteira (geralmente enorme).
Definição e visão global Uma Cadeia de Conway (ou simplesmente cadeia) é definida como segue: Qualquer número inteiro positivo é uma cadeia de comprimento 1. Uma cadeia de comprimento n, seguida por uma seta para a direita → e um inteiro positivo, juntos, formam uma cadeia de comprimento .
Qualquer cadeia representa um número inteiro, de acordo com as quatro regras abaixo. Duas cadeias são ditas equivalentes se elas representam o mesma inteiro.
Se p e q são inteiros positivos, e X é uma subcadeia, então:
A cadeia representa o número p. representa a expressão exponencial . é equivalente a . é equivalente a (com p copias de X, p - 1 copias de q, e p - 1 pares de parêntesis; aplica-se para q > 0).
Note-se que a última regra pode ser atualizada de forma recursiva para evitar elipses: 4a. 4b.
Propriedades Uma cadeia de comprimento 3 corresponde à notação de seta para cima de Knuth e hiperoperadores:
a cadeia X→Y é da forma X→p; conseqüentemente: a cadeia iniciando com a é uma potência de a a cadeia 1→Y é igual a 1 a cadeia X→1→Y é igual a X a cadeia 2→2→Y é igual a 4 a cadeia X→2→2 é igual a X→(X) (cadeia X com o seu valor concatenado a ela)
Interpretação É preciso ter cuidado ao se tratar uma cadeia de setas como um todo. Cadeias de setas não descrevem a aplicação iterada de um operador binário. Considerando que as cadeias de outros símbolos infixados (por exemplo 3+4+5+6+7) podem muitas vezes ser considerados em fragmentos (por exemplo: (3+4)+5+(6+7)) sem uma mudança de significado (veja associatividade), ou pelo menos podem ser avaliadas, passo a passo em uma ordem prescrita, por exemplo, da direita para a esquerda, que não é o caso com a seta de Conway.
Por exemplo:
A quarta regra é a essência: uma cadeia de 3 ou mais elementos que terminam com 2 ou mais torna-se uma cadeia de mesmo comprimento, com um (geralmente vasto) penúltimo elemento aumentado . Mas o seu último elemento é diminuído, permitindo, eventualmente, a terceira regra encurtar a cadeia. Depois, parafraseando Knuth, "detalhes demais", a cadeia é reduzida a dois elementos e a segunda regra termina a recursividade.
Exemplos Exemplos ficam bastante complicado rapidamente, aqui são pequenos exemplos:
n = n (by rule 1)
p→q = pq (by rule 2) Thus 3→4 = 34 = 81
1→(qualquer expressão com setas) = 1 uma vez que a expressão inteira, eventualmente, se reduz a 1number = 1. (Na verdade, qualquer cadeia que contenha um 1 pode ser truncada logo antes deste 1; e.g. X→1→Y=X para todas as cadeias (incorporadas) X,Y.)
4→3→2 = 4→(4→(4)→1)→1 (by 1) e, em seguida, trabalhando dos parênteses mais internos para os externos, = 4→(4→4→1)→1 (remove parênteses redundantes [rrp]) = 4→(4→4)→1 (2) = 4→(256)→1 (3) = 4→256→1 (rrp) = 4→256 (2) = 4256 ≈ 1.34078079299 × 10154 aproximadamente (3)
Com setas de Knuth:
2→2→4 = 2→(2)→3 (por 1) = 2→2→3 (rrp) = 2→2→2 (1, rrp) = 2→2→1 (1, rrp) = 2→2 (2) = 4 (3) (Na verdade, qualquer cadeia começando com dois 2s representa 4.)
2→4→3 = 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (by 1) As quatro cópias de X (que é 2 aqui) estão em negrito para distingui-las das três cópias de q (que é também 2) = 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (rrp) = 2→(2→(4)→2)→2 (exemplo prévio) = 2→(2→4→2)→2 (rrp) (expressão expandida na equação seguinte mostra em negrito em ambas as linhas) = 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (1) = 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (rrp) = 2→(2→(2→(2→2)))→2 (2 repetidamente) = 2→(2→(2→(4)))→2 (3) = 2→(2→(16))→2 (3) = 2→65536→2 (3,rrp) = 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (1) com 65535 conjuntos de parêntesis = 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (2 repetidamente) = 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (3) = 2→(2→(2→(...16...)))) (3) = (uma torre com 216 = 65536 andares)
Com as setas de Knuth: .
2→3→2→2 = 2→3→(2→3)→1 (by 1) = 2→3→8 (2 e 3) Com as setas de Knuth: 2 ↑8 3 (prop1) = 2→(2→2→7)→7 (1) = 2→4→7 (dois 2 iniciais dão 4 [prop6]) Com as setas de Knuth: 2 ↑7 4 (prop1) = 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (1) = 2→(2→4→6)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (1) = 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (1) = 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (1) = 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (prop6) = 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (exemplo anterior) = muito maior do que o número anterior
Com as setas de Knuth:
3→2→2→2 = 3→2→(3→2)→1 (1) = 3→2→9 (2 e 3) = 3→3→8 (1)
Com as setas de Knuth: .
Exemplos sistemáticos Os casos mais simples, com quatro termos (contendo pelo menos dois inteiros) são:
(também na sequência da última propriedade citada)
Podemos ver um padrão aqui. Se, para qualquer cadeia X, nós fazemos então (ver potências de funções).
Aplicando isto com , então e
Assim, por exemplo, .
Prosseguindo:
De novo podemos generalizar. Quendo escrevemos nós temos , isto é, . No caso acima, e , assim
Função de Ackermann A Função de Ackermann pode ser expressada usando-se a Notação de seta encadeada de Conway:
A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3 for m>2
daqui
2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3 for n>2
(n=1 and n=2 corresponderia a A(m,-2)=-1 and A(m,-1)=1, que poderia logicamente ser adicionado).
Número de Graham O Número de Graham em si não pode ser expresso de forma sucinta na notação de seta encadeada de Conway, mas pela definição da função intermediária , nós temos: , e
Prova: Aplicando para a definição, a regra 3, e a regra 4, temos:
(com 64 's)
(com 64 's)
(com 64 's) (com 65 's) (computação como acima).
Desde que f é estritamente crescente,
que é a desigualdade dada.
Com as setas encadeadas é muito fácil se especificar um número muito maior. Por exemplo, note que
que é muito maior do que o número Graham
Ver também Função de Ackermann Notação de Knuth Número de Graham
Ligações externas Factoids > grandes números Grandes números de Robert Munafo
Categoria:Notação matemática Categoria:Números muito grandes Categoria:John Horton Conway