right|thumb|300px|A trissectriz de Maclaurin com a propriedade da trissecção de um ângulo.
Em geometria, a trissectriz de Maclaurin é uma curva plana cúbica notável por sua propriedade trissectriz, isto é, ela pode ser utilizada para trissecionar ângulos. Tal propriedade pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de interseção de duas retas, cada uma girando a uma velocidade uniforme sobre pontos distintos, de tal forma que a relação entre as taxas de rotação é de 1/3 e as retas inicialmente coincidem com a reta divisória entre os dois pontos. A generalização deste tipo de construção é chamada sectriz de Maclaurin. O nome da curva foi dado em homenagem a Colin Maclaurin que a investigou em 1742.
Equações
Considere duas retas que giram em torno dos pontos e de modo que quando a reta sobre forma um ângulo com o eixo x, a reta sobre forma um ângulo . Seja o ponto da intersecção. Então o ângulo formado pelas retas em é . Pela lei dos senos,
de modo que a equação em coordenadas polares é (sob uma translação e rotação)
.
Assim, a curva pertence à família das concóides de Sluze.
Em coordenadas cartesianas, sua equação é
.
Se a origem é transladada para (a, 0), então uma dedução semelhante à acima mostra que a equação da curva em coordenadas polares se torna
O que a torna um exemplo de epispiral.
A propriedade da trissecção
Dado um ângulo , desenhemos um raio de circunferência no ponto , cujo ângulo com o eixo é . Desenhemos um raio de circunferência na origem até o ponto onde o primeiro raio de circunferência intersecta a curva. Então, através do gráfico da curva, o ângulo entre o segundo raio e o eixo é .
Principais pontos e características
A curva intercepta o eixo x em em , além de um ponto duplo na origem. A reta vertical é uma assíntota. A curva intersecta a reta x = a (o ponto correspondente à trissecção de um ângulo reto) em . Como toda cúbica nodal, a curva possui ordem zero.
Relação com outras curvas
A trissectriz de Maclaurin pode ser definida a partir de secções cônicas de três maneiras. Especificamente:
É inversa em relação ao círculo unitário da hipérbole
.
É cissóide ao círculo
e à reta em relaçao à origem.
É pedal em relação à origem da parábola
.
Além disso:
A inversa em relação ao ponto é a trissectriz de Limaçon.
A trissectrix de Maclaurin está relacionada com o folium de Descartes através de transformações afins.
Referências
"Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index "Trisectrix of MacLaurin" on 2dcurves.com "Trisectrix of Maclaurin" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves "Trisectrice de Maclaurin" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Ligações externas Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI
Categoria:Curvas