Em computação, representações de número com sinal são modos de representar números com sinal, i.e. números positivos e negativos, em sistemas de números binários.

Em matemática, os números negativos em qualquer base são representados por prefixando-os com um sinal de −. No entanto, em um hardware computacional, os números são representados em binário apenas, sem símbolos extras, requerendo um método de codificação para números negativos. Quatro métodos existem para estender o sistema binário para representar números com sinal: sinal-e-magnitude, complemento para um, complemento de dois, e excesso-N.

Método sinal-e-magnitude + Sinal-e-magnitude de 8 bitsBináriocom Sinalsem Sinal 00000000 +0 0 00000001 1 1 ... ... ... 01111111 127 127 10000000 −0 128 10000001 −1 129 ... ... ... 11111111 −127 255

A representação de sinal-e-magnitude (ou sinal-magnitude) é a mais familiar a nós que utilizamos o sistema numérico de base 10, usando um sinal positivo ou negativo à esquerda do número para indicar se este é positivo ou negativo. Pode-se primeiramente abordar o problema de representar um sinal de número através da atribuição de um bit de sinal para representar o sinal: define-se esse bit (frequêntemente o bit mais significativo) para 0 para representar um número positivo, e define-se como um para representar um número negativo. Os bits restantes do número representam a magnitude (ou o valor absoluto). Assim, em um byte com 8 bits, são utilizados 7 bits para representar o valor e um bit para representar o sinal. Neste caso, o valor pode variar de 0000000 (0) a 1111111 (127). Assim, pode-se representar números de −12710 a +12710 (-(2N−1−1) a +(2N−1−1)), onde n é a quantidade de bits do número), uma vez que você adicione o bit de sinal (o oitavo bit). Uma conseqüência desta representação é que existem duas maneiras de representar o zero, 00000000 (0) e 10000000 (-0).

Esta abordagem é directamente comparável com a maneira comum de se mostrar um sinal (colocando um "+" ou "-" junto à magnitude do número). Alguns dos primeiros computadores binários (por exemplo, o IBM 7090) usaram esta representação, talvez por causa de sua relação natural com o uso comum. Sinal de magnitude é a forma mais comum de representar os significandos em valores de ponto flutuante.

Complemento para um + Complemento para um com 8 bitsBinárioInterpretação de complemento para umInterpretação sem sinal 00000000 +0 0 00000001 1 1 ... ... ... 01111101 125 125 01111110 126 126 01111111 127 127 10000000 −127 128 10000001 −126 129 10000010 −125 130 ... ... ... 11111110 −1 254 11111111 −0 255

Como alternativa, um sistema conhecido como complemento para um ou complemento de um pode ser usado para representar números negativos. A forma de representar números negativos em "complemento para um" é aplicar a operação bitwise NOT para os números negativos (com -), ou seja, o complemento da sua contraparte positiva. Como na representação sinal de magnitude, o "complemento para um" tem duas representações para o 0: 00000000 (+0) e 11111111 (-0). Na prática, este zero negativo, quando detectado é transformado em zero normal.

Como exemplo, a forma em complemento para um de 00101011 (43) torna-se 11010100 (-43). O intervalo de números com sinal usando complemento para um é representado por: −(2N−1−1) para (2N−1−1) e +/-0. Um byte de oito bits convencional é −12710 para +12710 com zero sendo ou 00000000 (+0) ou 11111111 (-0).

Nesse caso citado, para transformar o número binário em decimal, segue-se o padrão normal, porém sem contar o primeiro número. Vamos usar o número 00101011 como exemplo, o primeiro 0 da esquerda é apenas para indicar o sinal e não faz parte da conta, portanto (0 + 2^5 + 0 + 2^3 + 0 + 2^1 + 2^0) = (0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1) = 43.

Para adicionar dois números representados neste sistema, se faz uma adição binária convencional, mas é então necessário adicionar qualquer "vai-um" resultante de volta para a soma resultante. Para ver por que isso é necessário, considere o seguinte exemplo que mostra o caso da adição de −1 (11111110) a +2 (00000010). binário decimal 11111110 -1 + 00000010 +2 ............ ... 1 00000000 0 <-- não é a resposta correta 1 +1 <-- adiciono "vai-um" ............ ... 00000001 1 <-- resposta correta

No exemplo anterior, a adição binária somente dá 00000000, o que é um resultado incorreto. Somente quando o "vai-um" é adicionado de volta o resultado correto (00000001) aparece.

Este sistema de representação numérica era comum em computadores mais antigos; o PDP-1, CDC 160A e a série UNIVAC 1100/2200, entre muitos outros, utilizavam aritmética de "complemento para um".

Uma observação sobre a terminologia: O sistema é conhecido como "complemento para um", porque a negação de um valor positivo x(representado como a operação bitwise NOT de x) pode também ser formado pela subtração de x da representação em "complemento para um" do número zero que é uma longa seqüência de uns (-0). A aritmética de "Complemento de dois", por outro lado, constitui a negação de x subtraindo x a partir de uma única grande potência de dois que é congruente a 0.<ref> Donald Knuth:The Art of Computer Programming, Volume 2: Algoritmos Seminumerical, capítulo 4.1 </ref> Por isso, a representação de "complemento para um" e a representação de "complemento para dois" irão diferir de um.

Os protocolos Internet IPv4, ICMP, UDP e TCP usam todos o mesmo algoritmo checksum de 16 bits de complemento para um. Embora a maioria dos computadores careça de um hardware para método de complementos, a complexidade extra é aceita porque "é igualmente sensível a erros em todas as posições dos bits". No UDP, a representação de zero com todos os bits setados para 0s indica que o recurso de verificação opcional foi omitido. A outra representação, FFFF, indica um valor de checksum 0. (Checksums são obrigatórios em IPv4, ICMP e TCP; eles foram omitidos do IPv6).

Note que a representação de complemento para um de um número negativo pode ser obtida de uma representação sinal-e-magnitude simplesmente fazendo-se uma operação de complemento bitwise da magnitude.

Complemento para dois + Complemento para dois de 8 bitsBinárioInterpretação de complemento para doisInterpretação sem sinal 00000000 0 0 00000001 1 1 ... ... ... 01111110 126 126 01111111 127 127 10000000 −128 128 10000001 −127 129 10000010 −126 130 ... ... ... 11111110 −2 254 11111111 −1 255

Os problemas de múltiplas representações de 0 e a necessidade de tratamento com "vai-um" são contornadas por um sistema chamado complemento para dois. Neste modelo, os números negativos são representados pelo padrão de bits que é maior em uma unidade (no sentido sem-sinal) que o "complemento para um" do valor positivo.

Em complemento para dois, há apenas um zero (00000000). Se nega um número (negativo ou positivo) invertendo-se todos os bits e, em seguida, adicionando 1 ao resultado. A adição de um par números em complemento para dois é o mesmo a adição de um par de números sem-sinal . Por exemplo, um complemento para dois da adição de 127 e -128 dá o mesmo padrão de bits binário de uma adição sem sinal de 127 com 128, como pode ser visto na tabela ao lado.

Um método mais fácil de obter a negação de um número em complemento de dois é o que se segue: Exemplo 1 Exemplo 2 1. A partir da direita, encontre o primeiro '1' 0101001 0101100 2. Inverte todos os bits à esquerda deste um 1010111 1010100

Excesso-N

+ Excesso-127 em 8 bitsValor binárioInterpretação de Excesso-127Interpretação sem-sinal 00000000 -127 0 00000001 -126 1 ... ... ... 01111111 0 127 10000000 1 128 ... ... ... 11111111 +128 255

A representação de Excesso-N usa um número pré-especificado N como um valor de polarização. Um valor é representado pelo número sem sinal que é N unidades maior do que o valor pretendido. Assim, 0 é representado por N, e -N'' é representado pelo padrão de bits zeros (tudo zerado).

Esta é uma representação que é agora utilizada principalmente em números de ponto flutuante. O padrão IEEE de ponto flutuante, define o campo de expoente de um número de 32 bits de precisão simples como um campo de 8 bits na representação de Excesso-127. O expoente de um número de 64 bits de precisão dupla é um de campo de 11 bits com representação de Excesso-1023.

Base −2 Em sistemas convencionais de número binário, a base, ou raiz, é de 2; assim, o bit mais à direita representa 20, o próximo bit representa 21, o próximo bit 2², e assim por diante. No entanto, um sistema numérico binário com base -2 também é possível. O bit mais à direita representa (−2)0=+1, o próximo bit representa (−2)1=−2, o próximo bit (−2)²=+4, e assim por diante, com o sinal alternado. Os números que podem ser representados com quatro bits são mostrados na tabela de comparação abaixo.

O intervalo de números que pode ser representado é assimétrico. Se a palavra tem um número par de bits, a magnitude do maior número negativo que pode ser representado é duas vezes maior que o maior número positivo que pode ser representado, e vice-versa, se a palavra tem um número ímpar de bits.

Tabela de comparação A tabela abaixo mostra os números inteiros positivos e negativos que podem ser representados utilizando 4 bits.

+ representações inteiras de 4 bits Decimal Sem sinal Sinal-e-magnitude Complemento para um Complemento de dois Excesso-7 Base −2 +16 +15 1111 +14 1110 +13 1101 +12 1100 +11 1011 +10 1010 +9 1001 +8 1000 1111 +7 0111 0111 0111 0111 1110 +6 0110 0110 0110 0110 1101 +5 0101 0101 0101 0101 1100 0101 +4 0100 0100 0100 0100 1011 0100 +3 0011 0011 0011 0011 1010 0111 +2 0010 0010 0010 0010 1001 0110 +1 0001 0001 0001 0001 1000 0001 +0 0000 0000 0 0000 0000 0111 0000 −0 1000 1111 −1 1001 1110 1111 0110 0011 −2 1010 1101 1110 0101 0010 −3 1011 1100 1101 0100 1101 −4 1100 1011 1100 0011 1100 −5 1101 1010 1011 0010 1111 −6 1110 1001 1010 0001 1110 −7 1111 1000 1001 0000 1001 −8 1000 1000 −9 1011 −10 1010 −11

Ver também Codificação binária decimal Complemento para dois

Andrew S.Tanenbaum, Organização Estrutura de Computadores, pág 399, Anexo 3 Categoria:Aritmética computacional

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