Em geral, pode-se dizer que uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento da sua imagem.300px|thumb|right|Gráfico da função vectorial r(t) = <> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a
Uma função vetorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cuja imagem é um conjunto de vetores multidimensionais, enquanto o domínio é um conjunto de números reais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo e de Análise Real.
Definição
Uma Função Vetorial é uma função, que denotaremos por f, definida num subconjunto I de R a valores num subconjunto de um espaço vetorial real, ou seja,
: I ⇒ R³; t ⇒
em que:
- , , são as funções componentes de ;
- I corresponde ao intervalo da reta de número reais tomada como o domínio da função vetorial;
- f corresponde ao conjunto de todos os valores para os quais as componentes estão definidas, possíveis de serem assumidos para t.
Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões , e de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo: ;
onde , , são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de .
Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:
Norma de uma Função Vectorial Considerando uma função vetorial da forma: r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo: |r(t)|= (r(t) . r(t))1/2 = (x(t)2 + y(t)2 + z(t)2)1/2
Limites e Continuidade Dada uma função vetorial definimos o limite de quando tende a em cada uma das suas funções componentes, conforme segue:
Desde que os limites de cada um das funções existam. A definição de limite para funções vetoriais no espaço é análoga.
Dizemos, ainda, que é contínua em quando esta satisfaz as seguintes três propriedades: pertence ao domínio de existe o
Dizemos que é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.
Derivadas Dada uma função vetorial definimos a derivada de em relação a por:
Dizemos que é derivável (diferenciável) em quando existe. Além disso, dizemos que é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.
Segue da definição de derivada que . Além disso, vemos que é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para .
Regras de derivação Sejam e funções vetoriais diferenciáveis, um vetor constante, uma função escalar diferenciável e um número real. Valem as seguintes regras de derivação:
O ponto "" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.
Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial Seja o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço bi ou tridimensional, dado por ou assume-se que a função é a velocidade da partícula e, também, um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula em cada instante do tempo t.
Visto isso, como a primeira derivada da função r(t), é a velocidade do corpo em determinado tempo t, a segunda derivada da função, a , analogamente, corresponde à sua aceleração.
Integrais Dada uma função vetorial , definimos sua integral indefinida em relação a por:
onde é uma primitiva de , i.e. , e é um vetor indeterminado.
Além disso, se é qualquer primitiva de no intervalo , então a integral definida de de a é dada por:
que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se com e funções integráveis em , então:
.
Vale resultado análogo para .
Categorias de Funções Vetoriais Existem duas categorias de funções vetoriais: as que dependem de somente uma variável, da forma F(t); e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.
Aplicação O conceito de funções vectoriais é aplicado em diversos ramos da Física e das Engenharias, dentre eles tem-se os conceitos de: velocidade, aceleração, força, torque, momento linear, momento angular, campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, equação do calor, equação da onda entre outros.
Ver também Campo vectorial Parametrização Cálculo vectorial
Bibliografia STRAUCH, Irene, Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS. AMARAL, Luis Fernando Coelho, Análise Vetorial, Universidade Federal do Maranhão.
Ligações externas
Categoria:Cálculo vetorial