Em álgebra, hiperdeterminante é uma generalização do determinante. Onde um determinante é um valor escalar de uma função definida numa matriz quadrada nxn. Um hiperdeterminante é definida como um vetor multidimensional de números ou hipermatriz. Como um determinante, o hiperdeteriminante é um polinômio homogêneo com coeficientes inteiros nos elementos da hipermatriz. Há muitas outras propriedades dos determinantes generalizados como hiperdeterminantes, porém não como um determinante, o hiperdeterminante não tem uma simples interpretação geométrica em termos de volumes. Ao invés de mais comumente ser definido como um discriminante para um ponto singular num conjunto escalar.
A notação para determinantes é estendida para hiperdeterminantes sem mudanças ou ambiguidades. Desde que o hiperdeterminante de uma hipermatriz A pode ser escrito usando uma notação com barras verticais como |A| ou então det(A).
O texto-padrão moderno para hiperdeterminantes é "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants", de Gel'fand, Kapranov e Zelevinsky referido a partir de agora como GKZ. Suas notações e terminologias serão seguidas aqui.
Hiperdeterminante de Cayley
No caso especial de uma hipermatrix 2x2x2, o hiperdeterminante é conhecido como hiperdeterminante de Cayley após o matemático britânico Arthur Cayley tê-lo descoberto. A expressão quártica para o hiperdeterminante de Cayley de uma hipermatriz A com componentes aijk, i,j,k = 0 ou 1 é dado por
det(A) = a0002a1112 + a0012a1102 + a0102a1012 + a1002a0112
- 2a000a001a110a111 - 2a000a010a101a111 - 2a000a011a100a111 - 2a001a010a101a110 - 2a001a011a110a100 - 2a010a011a101a100
+ 4a000a011a101a110 + 4a001a010a100a111
Esta expressão atua como um discriminante no sentido que é igual a zero se e somente se há uma solução não trivial em seis incógnitas xi, yi, zi, (com índice sobrescrito i = 0 or 1) do sistema com o seguinte modelo de equações
a000x0y0 + a010x0y1 + a100x1y0 + a110x1y1 = 0
a001x0y0 + a011x0y1 + a101x1y0 + a111x1y1 = 0
a000x0z0 + a001x0z1 + a100x1z0 + a101x1z1 = 0
a010x0z0 + a011x0z1 + a110x1z0 + a111x1z1 = 0
a000y0z0 + a001y0z1 + a010y1z0 + a011y1z1 = 0
a100y0z0 + a101y0z1 + a110y1z0 + a111y1z1 = 0
O hiperdeterminante pode ser escrito de uma forma mais compacta usando a notação de Einstein para somatórios com índices e o símbolo de Levi-Civita, onde tal é um tensor de densidade com componentes εij especificado por ε00 = ε11 = 0, ε01 = -ε10 = 1:
bkn = (1/2)εilεjmaijkalmn
det(A) = (1/2)εilεjmbijblm
Usando a mesma convenção nós podemos definir uma forma multilinear.
f(x,y,z) = aijkxiyjzk
Então o hiperdeterminante é zero se e somente se há um ponto não-trivial onde todas as derivadas de f desaparecem.
Ver também
Matriz Determinante
Referências
Cayley, A. "On the Theory of Linear Transformations." Cambridge Math. J. 4, 193-209, 1845.
Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; and Zelevinsky, A. V. "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" Birkhauser 1994.
Carla Dionisi, Giorgio Ottaviani, "The Binet-Cauchy Theorem for the Hyperdeterminant of boundary format multidimensional Matrices"
Luque, J-G, Thibon, J-Y "The polynomial Invariants of Four Qubits"
Crilly T, Crilly A.J. "Arthur Cayley: Mathematician Laureate of the Victorian Age", p176, JHU Press 2006.
Miyake A, "Classification of multipartite entangled states by multidimensional determinants",
Duff M., "String triality, black hole entropy and Cayley's hyperdeterminant",
Categoria:Matrizes Categoria:Álgebra multilinear