No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Frucht é um grafo 3-regular com 12 vértices e 18 arestas e nenhuma simetria não-trivial. Foi descrito pela primeira vez por Robert Frucht em 1939.
O grafo de Frucht é um grafo Halin com número cromático 3, índice cromático 3, raio 3, diâmetro 4, e cintura 3. Como em todos os grafos Halin, o grafo de Frucht é planar, 3-vértice-conectado, e poliédrico. É também um grafo 3-aresta-conectado.
O grafo de Frucht é hamiltoniano e pode ser construído a partir da notação LCF: [−5,−2,−4,2,5,−2,2,5,−2,−5,4,2].
Propriedades algébricas O grafo de Frucht é o menor grafo cúbico possuindo somente um único automorfismo de grafos, a identidadeSkiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990(ou seja, cada vértice pode ser distinguido topologicamente de todos os outros vértices). Tais grafos são chamados assimétricos (ou identidade). O teorema de Frucht diz que qualquer grupo pode ser compreendido como o grupo de simetrias de um grafo, e um reforço deste teorema também devido à Frucht afirma que qualquer grupo pode ser percebido como as simetrias de um grafo 3-regular; o grafo de Frucht fornece um exemplo desta realização para o grupo trivial.
O polinômio característico do grafo de Frucht é igual a .
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