A desigualdade do valor médio é um importante resultado da Análise Vetorial, pois dele seguem resultados muito relevantes, como, e.g., continuidade e diferenciabilidade de funções vetoriais, o Teorema de Schwarz, diferenciabilidade uniforme de funções de classe , fornecendo uma estimativa para a distância entre os valores das imagens de dois pontos em seu domínio.
Enunciado Seja uma função contínua definida em um aberto, de . Sejam e tal que . Denotem-se por:
Se:
é contínua em
é diferenciável em
então vale:
Prova Considere a função auxiliar . Basta mostrarmos que:
Mostraremos que
Com efeito, considere o conjunto:
É fácil ver que , pois obviamente
Ademais, é um intervalo, pois dado , para qualquer temos que:
ou seja,
Ademais, pela continuidade de pode-se verificar que é fechado, i.e., que
Afirmamos que . Com efeito, suponha, ab absurdo que . Então, para qualquer dado acima existe um tal que . Ademais, como é diferenciável em , segue que tomando suficientemente pequeno, vale:
com
Como supusemos , também temos:
Assim, tem-se que
de modo que , o que é absurdo, pois . Logo, , e vale a desigualdade:
Assim,
e vale que:
Q.E.D.
Referências Elon Lages Lima - Análise no RN, ISBN 8524401893
Categoria:Matemática aplicada