Na matemática, mais especificamente em álgebra, um semigrupo regular é um semigrupo S em que todo elemento é regular, isto é, para cada elemento a, existe (pelo menos) um elemento x tal que axa = a.Howie 1995 : 54. Os semigrupos regulares formam uma das classes mais estudadas de semigrupos e sua estrutura é particularmente favorável ao estudo por meio das relações de Green.Howie 2002.
Origens Os semigrupos regulares foram introduzidos por J. A. Green em seu artigo influente de 1951 "On the structure of semigroups"; este também foi o artigo em que as relações de Green foram introduzidas. O conceito de regularidade em um semigrupo foi adaptado de uma condição análoga para anéis, que já havia sido considerada por J. von Neumann.von Neumann 1936. Foi o estudo dos semigrupos regulares que levou Green a definir as célebres relações que hoje levam seu nome. De acordo com uma nota de rodapé em Green 1951, a sugestão de aplicar a regularidade aos semigrupos foi feita primeiramente por David Rees.
O básico Há duas formas equivalentes de definir um semigrupo regular S: Para cada a em S, existe algum elemento x de S, que é chamado de um pseudo-inverso,Klip, Knauer e Mikhalev : p. 33 tal que axa = a; Todo elemento a tem pelo menos um inverso b, no sentido de que aba = a e bab = b. Para ver a equivalência destas definições, suponha primeiramente que S é definido da segunda maneira. Então b desempenha o papel do x que é exigido na primeira definição. Reciprocamente, se S é definido da primeira forma, então xax é um inverso para a, pois a(xax)a = axa(xa) = axa = a e (xax)a(xax) = x(axa)(xax) = x(axa)x = xax.Clifford e Preston 1961 : Lemma 1.14.
O conjunto de inversos (no sentido acima) de um elemento a em um semigrupo arbitrário S é denotado por V(a).Howie 1995 : p. 52. Então, outra forma de expressar a segunda definição é dizer que em um semigrupo regular S, V(a) é não vazio para todo elemento a de S. O produto de um elemento a com qualquer bem V(a) é sempre um idempotente: abab = ab, uma vez que aba = a.Clifford e Preston 1961 : p. 26.
Um semigrupo regular em que os idempotentes comutam é um semigrupo inverso, isto é, todo elemento possui um único inverso. Para ver isso, seja S um semigrupo regular em que todos os idempotentes comutam. Então todo elemento de S tem pelo menos um inverso. Suponha que b e c sejam inversos de a em S, isto é, aba = a, bab = b, aca = a e cac = c. Além disso ab, ba, ac e ca são idempotentes como acima. Então b = bab = b(aca)b = bac(a)b =bac(aca)b = bac(ac)(ab) = bac(ab)(ac) = ba(ca)bac = ca(ba)bac = c(aba)bac = cabac = cac = c. Então, comutando os idempotentes ab e ac e também os idempotentes ba e ca, mostra-se que o inverso de a é único. Reciprocamente, pode-se demonstrar que qualquer semigrupo inverso é um semigrupo regular em que os idempotentes comutam.Howie 1995 : Theorem 5.1.1.
A existência de um único pseudo inverso implica na existência de um único inverso, mas o contrário não é verdadeiro. Por exemplo, no semigrupo inverso simétrico, a transformação vazia não tem um único pseudo inverso, pois Ø = ØfØ para qualquer aplicação f. No entanto, o inverso de Ø é único, pois apenas uma f satisfaz a restrição adicional de que f = ØfØ, a saber f = Ø. Esta observação vale em geral em qualquer semigrupo com zero. Além disso, se qualquer elemento possui um único pseudoinverso, então o semigrupo é um grupo, e o único pseudo inverso de um elemento coincide com o inverso da definição de grupoDemonstração: http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6391
Teorema. Toda imagem homomórfica de um semigrupo regular é regular.Howie 1995 : Lema 2.4.4.
Exemplos Todo grupo é regular. Todo semigrupo inverso é regular. Toda banda (semigrupo idempotente) é regular no sentido deste artigo, mas isso não é o mesmo que uma banda regular. O semigrupo bicíclico é regular. Qualquer semigrupo de transformações é regular. Um semigrupo de matrizes de Rees é regular.
Ver também Conjunto biordenado
Notas
Referências A. H. Clifford and G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, Mathematical Surveys of the American Mathematical Society, No. 7, Providence, R.I., 1961. J. M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, Oxford, 1995. M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
J. M. Howie, Semigroups, past, present and future, Proceedings of the International Conference on Algebra and Its Applications, 2002, 6–20.
Categoria:Teoria de semigrupos