As formulações matemáticas da mecânica quântica são aqueles formalismos matemáticos que permitem uma descrição rigorosa da mecânica quântica. Este formalismo matemático usa principalmente uma parte da análise funcional, especialmente espaços de Hilbert, que são um tipo de espaço linear. Esses formalismos distinguem-se dos formalismos matemáticos para teorias da física desenvolvidas antes do início dos anos 1900 pelo uso de estruturas matemáticas abstratas, como espaços de Hilbert de dimensão infinita (espaço L2 principalmente), e operadores nesses espaços. Em resumo, valores de observáveis físicos como energia e momento não eram mais considerados como valores de funções no espaço de fase, mas como autovalores; mais precisamente como valores espectrais de operadores lineares no espaço de Hilbert.

Essas formulações da mecânica quântica continuam a ser usadas hoje. No cerne da descrição estão as ideias de estado quântico e observáveis quânticos, que são radicalmente diferentes daquelas usadas em modelos anteriores de realidade física. Enquanto a matemática permite o cálculo de muitas quantidades que podem ser medidas experimentalmente, há um limite teórico definido para valores que podem ser medidos simultaneamente. Essa limitação foi elucidada pela primeira vez por Heisenberg por meio de um experimento mental, e é representada matematicamente no novo formalismo pela não comutatividade de operadores que representam observáveis quânticos.

Antes do desenvolvimento da mecânica quântica como uma teoria separada, a matemática usada na física consistia principalmente em análise matemática formal, começando com cálculo e aumentando em complexidade até a geometria diferencial e equações diferenciais parciais. A teoria da probabilidade foi usada na mecânica estatística. A intuição geométrica desempenhou um papel importante nas duas primeiras e, consequentemente, as teorias da relatividade foram formuladas inteiramente em termos de conceitos geométricos diferenciais. A fenomenologia da física quântica surgiu aproximadamente entre 1895 e 1915, e durante os 10 a 15 anos antes do desenvolvimento da mecânica quântica (por volta de 1925), os físicos continuaram a pensar na teoria quântica dentro dos limites do que hoje é chamado de física clássica e, em particular, dentro das mesmas estruturas matemáticas. O exemplo mais sofisticado disso é a regra de quantização de Sommerfeld, Wilson, e Ishiwara, que foi formulada inteiramente no espaço de fase clássico.

História do formalismo A "antiga teoria quântica" e a necessidade de uma nova matemática

Na década de 1890, Planck conseguiu derivar o espectro do corpo negro, que mais tarde foi usado para evitar a catástrofe ultravioleta clássica ao fazer a suposição pouco ortodoxa de que, na interação da radiação eletromagnética com a matéria, a energia só poderia ser trocada em unidades discretas que ele chamou de quanta. Planck postulou uma proporcionalidade direta entre a frequência da radiação e o quantum de energia naquela frequência. A constante de proporcionalidade, , agora é chamada de constante de Planck em sua homenagem.

Em 1905, Einstein explicou certas características do efeito fotoelétrico ao assumir que os quanta de energia de Planck eram partículas reais, que mais tarde foram apelidadas de fótons. right|300px|luz na frequência certa Todos esses desenvolvimentos eram fenomenológicos e desafiavam a física teórica da época. Bohr e Sommerfeld continuaram a modificar a mecânica clássica em uma tentativa de deduzir o modelo de Bohr a partir dos primeiros princípios. Eles propuseram que, de todas as órbitas clássicas fechadas traçadas por um sistema mecânico em seu espaço de fase, apenas aquelas que envolviam uma área que era um múltiplo da constante de Planck eram realmente permitidas. A versão mais sofisticada desse formalismo era a chamada quantização de Sommerfeld, Wilson e Ishiwara. Embora o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio pudesse ser explicado dessa forma, o espectro do átomo de hélio (classicamente um problema de três corpos insolúvel) não podia ser previsto. O status matemático da teoria quântica permaneceu incerto por algum tempo.

Em 1923, de Broglie propôs que a dualidade do par onda e partícula se aplicava não apenas aos fótons, mas aos elétrons e a todos os outros sistemas físicos.

A situação mudou rapidamente nos anos de 1925–1930, quando fundamentos matemáticos funcionais foram encontrados através do trabalho inovador de Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan e o trabalho fundamental de John von Neumann, Hermann Weyl e Paul Dirac, e tornou-se possível unificar várias abordagens diferentes em termos de um novo conjunto de ideias. A interpretação física da teoria também foi esclarecida nesses anos após Werner Heisenberg descobrir as relações de incerteza e Niels Bohr introduzir a ideia de complementaridade.

A "nova teoria quântica" A mecânica matricial de Werner Heisenberg foi a primeira tentativa bem-sucedida de replicar a quantização observada de espectros atômicos. Mais tarde, no mesmo ano, Schrödinger criou sua mecânica ondulatória. O formalismo de Schrödinger foi considerado mais fácil de entender, visualizar e calcular, pois levou a equações diferenciais, que os físicos já estavam familiarizados com a solução. Em um ano, foi demonstrado que as duas teorias eram equivalentes.

O próprio Schrödinger inicialmente não entendeu a natureza probabilística fundamental da mecânica quântica, pois pensava que o quadrado absoluto da função de onda de um elétron deveria ser interpretado como a densidade de carga de um objeto espalhado por um volume de espaço estendido, possivelmente infinito. Foi Max Born quem introduziu a interpretação do quadrado absoluto da função de onda como a distribuição de probabilidade da posição de um objeto pontual. A ideia de Born foi logo assumida por Niels Bohr em Copenhague, que então se tornou o "pai" da interpretação de Copenhague da mecânica quântica. A função de onda de Schrödinger pode ser vista como intimamente relacionada à equação de Hamilton e Jacobi clássica. A correspondência com a mecânica clássica era ainda mais explícita, embora um pouco mais formal, na mecânica matricial de Heisenberg. Em seu projeto de tese de doutorado, Paul Dirac descobriu que a equação para os operadores na representação de Heisenberg, como é chamada agora, se traduz de perto em equações clássicas para a dinâmica de certas quantidades no formalismo hamiltoniano da mecânica clássica, quando alguém as expressa por meio de colchetes de Poisson, um procedimento agora conhecido como quantização canônica.

Já antes de Schrödinger, o jovem bolsista de pós-doutorado Werner Heisenberg inventou sua mecânica matricial, que foi a primeira mecânica quântica correta – o avanço essencial. A formulação da mecânica matricial de Heisenberg foi baseada em álgebras de matrizes infinitas, uma formulação muito radical à luz da matemática da física clássica, embora ele tenha começado a partir da terminologia de índice dos experimentalistas da época, nem mesmo ciente de que seus "esquemas de índice" eram matrizes, como Born logo apontou para ele. De fato, nesses primeiros anos, a álgebra linear não era geralmente popular entre os físicos em sua forma atual.

Embora o próprio Schrödinger depois de um ano tenha provado a equivalência de sua mecânica ondulatória e da mecânica matricial de Heisenberg, a reconciliação das duas abordagens e sua abstração moderna como movimentos no espaço de Hilbert é geralmente atribuída a Paul Dirac, que escreveu um relato lúcido em seu clássico de 1930 Os Princípios da Mecânica Quântica. Ele é o terceiro, e possivelmente o mais importante, pilar desse campo (logo ele foi o único a ter descoberto uma generalização relativística da teoria). Em seu relato acima mencionado, ele introduziu a notação bra e ket, juntamente com uma formulação abstrata em termos do espaço de Hilbert usado na análise funcional; ele mostrou que as abordagens de Schrödinger e Heisenberg eram duas representações diferentes da mesma teoria, e encontrou uma terceira, mais geral, que representava a dinâmica do sistema. Seu trabalho foi particularmente frutífero em muitos tipos de generalizações do campo.

A primeira formulação matemática completa dessa abordagem, conhecida como axiomas de Dirac e von Neumann, é geralmente creditada ao livro de John von Neumann de 1932, Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica, embora Hermann Weyl já tivesse se referido aos espaços de Hilbert (que ele chamou de espaços unitários) em seu artigo clássico de 1927 e livro de 1928. Ela foi desenvolvida em paralelo com uma nova abordagem para a teoria espectral matemática baseada em operadores lineares em vez das formas quadráticas que eram a abordagem de David Hilbert uma geração antes. Embora as teorias da mecânica quântica continuem a evoluir até hoje, há uma estrutura básica para a formulação matemática da mecânica quântica que fundamenta a maioria das abordagens e pode ser rastreada até o trabalho matemático de John von Neumann. Em outras palavras, as discussões sobre a interpretação da teoria e extensões a ela são agora conduzidas principalmente com base em suposições compartilhadas sobre os fundamentos matemáticos.

Desenvolvimentos posteriores A aplicação da nova teoria quântica ao eletromagnetismo resultou na teoria quântica de campos, que foi desenvolvida a partir de 1930. A teoria quântica de campos impulsionou o desenvolvimento de formulações mais sofisticadas da mecânica quântica, das quais as apresentadas aqui são casos especiais simples.

Formulação de Feynman da mecânica quântica Formulação de espaço de fase da mecânica quântica e quantização geométrica teoria quântica de campos em espaço-tempo curvo teoria quântica de campos axiomática, algébrica, e construtiva formalismo da álgebra C* modelo estatístico generalizado da mecânica quântica

Um tópico relacionado é a relação com a mecânica clássica. Qualquer nova teoria física deve ser reduzida a teorias antigas bem-sucedidas em alguma aproximação. Para a mecânica quântica, isso se traduz na necessidade de estudar o chamado limite clássico da mecânica quântica. Além disso, como Bohr enfatizou, as habilidades cognitivas humanas e a linguagem estão inextricavelmente ligadas ao reino clássico e, portanto, as descrições clássicas são intuitivamente mais acessíveis do que as quânticas. Em particular, a quantização, ou seja, a construção de uma teoria quântica cujo limite clássico é uma teoria clássica dada e conhecida, torna-se uma área importante da física quântica em si mesma.

Finalmente, alguns dos criadores da teoria quântica (notavelmente Einstein e Schrödinger) estavam descontentes com o que pensavam ser as implicações filosóficas da mecânica quântica. Em particular, Einstein assumiu a posição de que a mecânica quântica deve ser incompleta, o que motivou a pesquisa nas chamadas teorias de variáveis ocultas. A questão das variáveis ocultas tornou-se em parte uma questão experimental com a ajuda da óptica quântica.

Postulados da mecânica quântica