Em matemática, as funções de Legendre Pλ, Qλ e as funções de Legendre associadas P, Q são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros.
thumb|500px|Gráficos dos polinômios de Legendre associados P(x)
Equação diferencial As funções de Legendre associadas são soluções da equação de Legendre
onde os números complexos λ e μ são denominados, respectivamente, grau e ordem das funções de Legendre associadas. As funções de Legendre são as funções de Legendre associadas de ordem μ=0.
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares (em 1, −1 e ∞). Como toda equação deste tipo, ela pode ser convertida em uma equação diferencial hipergeométrica mediante uma mudança de variáveis, e sua solução pode ser expressa usando funções hipergeométricas.
Definição Estas funções podem ser definidas para parâmetros e argumentos complexos gerais:
onde é a função gama e é a função hipergeométrica.
A equação diferencial de segunda ordem tem uma segunda solução, , definida como:
Representação integral As funções de Legendre podem ser escritas como integrais de contorno. Por exemplo
onde os contorno circulam em torno dos pontos 1 e z nos sentidos positivos, mas não circulam o ponto −1. Para x real
Referências .
Ligações externas Legendre function P on the Wolfram functions site. Legendre function Q on the Wolfram functions site. Associated Legendre function P on the Wolfram functions site. Associated Legendre function Q on the Wolfram functions site.
Categoria:Equações diferenciais