Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. Chiang, Alpha C. (1984), p. 80.Greene, William H. (2003), pp. 808–809. Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se CHEN, Mei Yuan (2003). Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.
Propriedades Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.WOOLDRIDGE, p. 104. Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
Se uma matriz A é idempotente, a matriz também é.
Matriz de projeção É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.WOOLDRIDGE Seja uma matriz de dimensão com posto . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:
, onde denota a matriz transposta de X e denota a matriz inversa da matriz . Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que .
Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes e de tal forma que , então :HANSEN, Bruce (2011) p. 77 Por exemplo, sejam as matrizes . Então,
A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês):
P é sempre positiva semi-definida. Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.
Matriz de aniquilação
Matriz de aniquilação: . Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que .HAYASHI, Fumio (2000), p. 18
A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários , sendo matrizes, poderemos definir e
E então podemos estimar os coeficientes separadamenteHANSEN, Bruce (2011) p. 80:
Notas
Referências CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices. Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80. Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809. WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18. HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
Categoria:Matrizes