A lei de Faraday-Neumann-Lenz, ou lei da indução de Faraday, ou simplesmente, lei da indução eletromagnética, é uma das equações básicas do eletromagnetismo. Ela prevê como um campo magnético interage com um circuito elétrico para produzir uma força eletromotriz — um fenômeno chamado de indução eletromagnética. É a base do funcionamento de transformadores, alternadores, dínamos, indutores, e muitos tipos de motores elétricos, geradores e solenoides.

Atribui-se a Michael Faraday a descoberta da indução eletromagnética e, por conseguinte, o nome da lei relativa a esse fenômeno. Este foi comprovado experimentalmente por Faraday diversas vezes, apesar de sua explicação limitar-se ao conceito de linhas de força. A primeira formulação matemática da lei de Faraday foi feita por Franz Ernst Neumann em 1845. Nela, a força eletromotriz produzida em um circuito, pela indução, era expressa pelo negativo da derivada do fluxo magnético com o tempo através da área delimitada por esse circuito. O sinal negativo diz respeito ao sentido da FEM – e, por conseguinte, da corrente elétrica – e pode ser expressa formalmente por meio da chamada Lei de Lenz, desenvolvida por Heinrich Lenz em 1834, que integra o corolário da lei de Faraday.

Suas aplicações são inúmeras; na prática, quase todos os equipamentos eletro-eletrônicos utilizam o fenômeno da indução, seja para produzir uma corrente contínua, como nos dínamos, ou uma corrente alternada, como nos geradores, transformadores, alternadores e indutores, todos por meio da variação no campo magnético.

A equação de Maxwell–Faraday é uma generalização da lei de Faraday, e compõe uma das equações de Maxwell. Ela descreve como a variação de um campo magnético no tempo através de um circuito em repouso produz um campo elétrico não-eletrostático que, por sua vez, produz uma corrente elétrica no circuito. O movimento relativo entre um imã e o condutor e a produção, ou não, de um campo elétrico nessa experiência levaram a uma aparente dicotomia, exercendo, por sua vez, papel fundamental no desenvolvimento da relatividade restrita por Albert Einstein em 1905.

História thumb|left|150px|Retrato de Michael Faraday de 1842. A indução eletromagnética foi descoberta de forma independente por Michael Faraday em 1831 e Joseph Henry em 1832. Faraday, no entanto, foi o primeiro a publicar os resultados de seus experimentos.} Em 29 de agosto de 1831, data da primeira demonstração experimental da indução eletromagnética feita por Faraday, ele amarrou dois fios em lados opostos de um anel de ferro (ou toro, um arranjo similar a um transformador toroidal moderno). Face às recém-descobertas propriedades do eletromagnetismo, ele esperava que, quando a corrente começasse a passar em um fio, uma espécie de onda viajaria através do anel e causaria algum efeito elétrico no lado oposto. Conectou, então, um dos fios a um galvanômetro e o outro a uma bateria. Foi observada, de fato, uma corrente transiente – que ele chamou de "onda de eletricidade" – nos momentos em que conectou e desconectou o fio à bateria. Esta indução ocorreu devido à mudança que houve no fluxo magnético quando a bateria foi conectada e desconectada.

thumb|right|339x339px|Ilustração do aparato usado por Faraday em sua primeira demonstração da indução eletromagnética. Faraday explicou a indução eletromagnética usando um conceito que chamou de linhas de força. No entanto, grande parte dos cientistas da época rejeitavam suas ideias teóricas, principalmente porque não havia uma formulação matemática para elas. James Clerk Maxwell, contudo, usou as ideias de Faraday como a base para sua teoria eletromagnética quantitativa. Nos estudos de Maxwell, o aspecto da variabilidade com o tempo da indução eletromagnética é expressado como uma equação diferencial, a qual Oliver Heaviside referiu-se como a lei de Faraday, embora seja diferente da versão original da lei de Faraday. A versão de Heaviside é a forma que hoje é reconhecida como parte do grupo de equações conhecido como equações de Maxwell.

A lei de Lenz, formulada por Heinrich Lenz em 1834, descreve o "fluxo através do circuito", e fornece a direção da força eletromotriz e corrente induzidas resultantes da indução eletromagnética.

Lei de Faraday-Neumann-Lenz Enunciado qualitativo A versão mais difundida da lei de Faraday afirma:

Esta versão da lei de Faraday é estritamente válida apenas quando o circuito fechado é um laço de fio metálico infinitamente fino, e é inválida em outras circunstâncias a serem discutidas. Uma versão diferente, a equação de Maxwell–Faraday, é válida em todas as circunstâncias.

Enunciado quantitativo A lei da indução de Faraday faz uso do fluxo magnético ΦB através de uma superfície hipotética Σ, cujo bordo é um laço de fio metálico. Uma vez que o laço pode estar se movendo com o tempo, escreve-se Σ(t) para a superfície. O fluxo magnético é definido pela integral de superfície:

,

onde dA é um elemento de área da superfície Σ(t), B é o campo magnético (também chamado de "densidade do fluxo magnético"), e B·dA é um produto escalar dos dois vetores (a quantidade infinitesimal de fluxo magnético). De outro modo, o fluxo magnético através do laço é proporcional ao número de linhas do fluxo magnético que passam por ele.

Quando o fluxo se modifica — devido a uma mudança do B, ou porque o laço é movido ou deformado, ou ambos — a lei da indução de Faraday afirma que o fio adquire uma FEM, ε, definida como o trabalho por unidade de carga que uma força não-eletrostática realiza quando uma carga é transportada em volta do laço.Tipler and Mosca, Physics for Scientists and Engineers, p795, google books link De forma equivalente, é a voltagem que seria medida ao cortar o arame para criar um circuito aberto, ligando um voltímetro às pontas.

A lei de Faraday afirma que a FEM também é dada pela taxa de variação do fluxo magnético:

,

onde ε é a força eletromotriz (FEM) e ΦB é o fluxo magnético. A direção da FEM é dada pela lei de Lenz.

Para um fio enrolado firmemente em uma bobina, composta de N voltas idênticas, cada uma com o mesmo ΦB, a lei da indução de Faraday afirma:Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1

,

onde N é o número de voltas do fio e ΦB é o fluxo magnético através de uma única volta.

Equação de Maxwell-Faraday A equação de Maxwell-Faraday é uma generalização da lei de Faraday, e afirma que um campo magnético que varia com o tempo é sempre acompanhado por um campo elétrico não-conservativo que varia espacialmente, e vice-versa. A equação de Maxwell–Faraday é:

(em unidades do SI), onde é o operador rotacional e, novamente, E(r, t) é o campo elétrico e B(r, t) é o campo magnético. Tais campos podem estar em função da posição r e do tempo t.

A equação de Maxwell–Faraday é uma das quatro equações de Maxwell, tendo, portanto, um papel fundamental na teoria do eletromagnetismo clássico. Ela também pode ser escrita na forma integral pelo Teorema de Kelvin-Stokes:

,

onde Σ é uma superfície limitada pelo seu bordo ∂Σ; E é o campo elétrico; B é o campo magnético; dℓ é um elemento vetorial infinitesimal de ∂Σ; dA é um elemento vetorial infinitesimal de Σ.

Ambos dℓ e dA têm uma ambiguidade de sinal; para obter o sinal correto, usa-se a regra da mão direita. Para uma superfície plana Σ, um elemento de curva positivo dℓ da curva ∂Σ é definido pela regra de mão direita como estando na direção dos dedos da mão direita quando o polegar aponta na direção do vetor normal n exterior à superfície Σ.

Demonstração As quatro equações de Maxwell (incluindo a equação de Maxwell–Faraday), junto à lei da força de Lorentz, são suficientes para derivar tudo no eletromagnetismo clássico. Portanto, é possível "demonstrar" a lei de Faraday partindo dessas equações. Em uma abordagem alternativa, não mostrada aqui, porém igualmente válida, a lei de Faraday poderia ser tomada como ponto de partida e usada para "demonstrar" a equação de Maxwell–Faraday e/ou outras leis.

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left" !Esboço da demonstração da lei de Faraday partindo das equações de Maxwell e da lei da força de Lorentz. |- |Considere a derivada em função do tempo do fluxo magnético através de um circuito fechado, possivelmente móvel, com área :

A integral pode mudar em função do tempo por duas razões: o integrando pode mudar, ou a região de integração o pode. A solução geral pode ser tomada pela combinação linear dessas duas soluções particulares, portanto:

onde t0 é qualquer tempo fixo dado. O primeiro termo do lado direito da equação pode ser reescrito usando a forma integral da equação de Maxwell–Faraday:

thumbnail|300px|Área definida pelo elemento vetorial dℓ da curva ∂Σ, no tempo dt, quando se desloca com velocidade v. Em seguida, analisamos o segundo termo do lado direito da equação:

Esta é considerada a parte mais difícil da demonstração; mais detalhes e abordagens alternativas podem ser encontradas nas referências.K. Simonyi, Theoretische Elektrotechnik, 5th edition, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, equation 20, page 47 Conforme o circuito move e/ou se deforma, ele define uma superfície. Analisando o fluxo magnético através da superfície total que delimita um volume tido após esse deslocamento, notamos que o fluxo através das "tampas" delimitadas pelo circuito é igual; logo, o fluxo que contribui para a derivada no tempo corresponde apenas àquele através da área lateral desse volume (aqui, usamos implicitamente a lei de Gauss para o magnetismo). À medida que uma parte do circuito move-se com velocidade v por um período de tempo , ela define um vetor área . Assim, a mudança do fluxo magnético com o tempo através do circuito é:

Portanto:

onde v é a velocidade em um ponto do circuito de trajetória .

Juntando as equações,

A FEM é definida como a energia disponível por unidade de carga que viaja uma vez pelo circuito. Portanto, pela lei da força de Lorentz,

Recombinando,

Contraexemplos

Embora a lei de Faraday seja válida para circuitos de fio infinitamente fino, ela pode fornecer um resultado errado caso seja ingenuamente extrapolada para outros contextos. Um exemplo é o gerador unipolar: um disco metálico girando na presença de um campo magnético homogêneo gera uma FEM de corrente contínua. Na lei de Faraday, a FEM é dada pela derivada do fluxo no tempo; logo, uma FEM contínua só é possível caso o fluxo magnético esteja aumentando. Porém, no gerador, o campo magnético é constante e o disco permanece na mesma posição, então, o fluxo magnético não aumenta. Portanto, esse exemplo não pode ser analisado diretamente pela lei de Faraday.

Outro exemplo, como exposto por Richard Feynman, apresenta uma mudança dramática no fluxo através do circuito, no entanto, a FEM permanece arbitrariamente pequena. Veja a figura e legenda acima à direita.

Em ambos os exemplos, as mudanças no percurso da corrente são diferentes do movimento do material que compõe o circuito. Os elétrons em um material tendem a seguir o movimento dos átomos que constituem o material, devido à dispersão na massa e o confinamento da função trabalho nas bordas. Por conseguinte, a FEM relativa ao movimento é gerada quando os átomos do material movem-se através de um campo magnético, arrastando os elétrons com ela, sujeitando-os, assim, à força de Lorentz. No gerador unipolar, os átomos do material movem-se, embora a geometria do circuito como um todo permaneça a mesma. No segundo exemplo, os átomos do material são praticamente estacionários, embora a geometria do circuito como um todo mude dramaticamente. Por outro lado, a lei de Faraday sempre é verdadeira para um fio suficientemente fino, pois a mudança na geometria do circuito é sempre diretamente proporcional ao movimento dos átomos do material.