Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se y≤x, então y pertence à S.

Definição Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja um conjunto bem ordenado. Um subconjunto é um segmento inicial de se satisfizer a condição

onde, Ruy J. G. B. de Queiroz, Notas de aula do curso de teoria de conjuntos da Universidade Federal de Pernambuco UFPE.

Outra definição mais usual é:

Seja um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto é um segmento inicial de se satisfizer a condição

onde, Karel Hrback e Thomas Jech. Introduction to set theory - third edition. ISBN 0-8247-7915-0. Page 104.

Propriedades Se é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado , então Se e são conjuntos bem ordenados, então ou é isomorfo a um segmento inicial de , ou é isomorfo a um segmento inicial de . Francisco Miraglia, Teoria de conjuntos: um mínimo., editora EDUSP. São Paulo, 1991.

A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial. Demonstração Sejam e um conjunto totalmente ordenado. Para todo , considere um segmento inicial de .

Assim, se , então, então, como é um segmento inicial, , logo, , portanto, é um segmento inicial de

A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial. Demonstração Sejam e um conjunto totalmente ordenado. Para todo , considere um segmento inicial de .

Assim, se , então, tal que então, como é um segmento inicial, , logo, , portanto, é um segmento inicial de

Exemplos No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas: ou . é um segmento inicial de . Um corte inferior de Dedekind em ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de , não vazio, majorado e sem máximo. Fernando Ferreira, notas de aula do curso de Conjuntos e Fundamentos da Universidade de Lisboa, 2011.

Categoria:Teoria dos conjuntos