Em análise numérica, o Método da Direção implícita alternada (DIA) é um Método de diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas.. É mais notavelmente usado para resolver o problema da condução de calor ou para resolver a equação de difusão em duas ou mais dimensões.
O método tradicional para resolver a equação do calor numericamente é o Método de Crank–Nicolson. Esse método resulta em um conjunto de equações muito complicadas em múltiplas dimensões, difíceis de resolver. A vantagem do método DIA é que as equações que devem ser resolvidas em cada passo tem uma estrutura mais simples e podem ser resolvidas eficientemente com um algoritmo de matriz tridiagonal.
O método
Considere a equação da difusão linear em duas dimensões,
O método de Crank-Nicolson implícito produz a seguinte equação de diferenças finitas:
onde é o operador de diferenças central para a coordenada p. Depois de realizada uma análise de estabilidade, pode ser mostrado que esse método será estável para qualquer .
Uma desvantagem do método de Crank-Nicolson é que a matriz na equação acima é uma matriz de banda com uma largura que é geralmente bem grande. Isso torna a solução direta do sistema de equações lineares bastante trabalhosa (embora soluções aproximadas eficientes existam).
A ideia do método ADI é dividir a equação de diferenças finitas em duas, uma com a derivada parcial em 'x' e a outra com a derivada parcial em y, ambas tomada implicitamente.
O sistema de equações envolvido é simétrico e tridiagonal e é tipicamente resolvido usando um algoritmo de matriz tridiagonal.
Pode ser mostrado que esse método é incondicionalmente estável e de segunda ordem no tempo e espaço.. Existem métodos ADI mais refinados assim como o método de Douglas, . ou o método do fator f . o qual pode ser usado para três ou mais dimensões.
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