thumb|300 px|Existem versões diferentes da transformada discreta de seno. Em matemática, a transformada discreta de seno (DST, do inglês Discrete Sine Transform) é a versão da transformada de seno para um domínio discreto. Na verdade, podem-se definir 4 tipos diferentes de DST, de acordo com critérios diversos; essas transformadas são denotadas DST1, DST2, DST3 e DST4 ou DST-I, DST-II, DST-III e DST-IVP. Yip - Sine and Cosine Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 305 a 306Z. Hafed e M. Levine - Face Recognition Using the Discrete Cosine Transform in International Journal of Computer Vision, 43(3), 2001, pp. 167 a 188Britanak et al(2006) define 8 versões, de DST-I a DST-VIII. Ver a seção Outras versões para mais detalhes.

Transformadas discretas, ao contrário das transformadas contínuas, aplicam-se não a funções contínuas mas a amostras obtidas destas. A partir de uma função contínua f(t) obtém-se uma sequência de n valores f(k), sendo k um número inteiro de 0 a n-1; a transformada discreta de seno da sequência f(k) é uma outra sequência, que chamaremos S(k), dada pelas expressões de definição. A sequência original pode ser recuperada a partir da sequência S(k) por meio das expressões de definição da transformação inversa. A amostragem deve ser executada sobre um intervalo de comprimento τ, suficiente para que todas as componentes significativas de f(t) estejam representadas devidamente em f(k) (ver Taxa de amostragem); assume-se que o intervalo Δt entre as amostragens é fixo.

A recuperação da sequência original pela aplicação da transformada inversa assume que a função f(t) é nula para t < 0 e também que ela é uma função "ímpar", no sentido de termos f(k) = - f(n-k) no intervalo considerado.Isso porque a definição da transformada contínua de seno, com o objetivo de obter o máximo de simplificação em relação à transformada de Fourier, assume que tais condições estejam presentes. Para maiores detalhes, consultar o verbete Transformadas de seno e de cosseno.R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1, Cap. 12, pp. 301 a 303

A DST possui as propriedade notáveis de: ser mais simples que a transformada discreta de Fourier e possuir propriedades similares, e assim se prestar melhor à solução de problemas de equações diferenciais com condições de contorno tais que a impliquem na presença de somente funções ímpares na resposta se aproximar assintoticamente da transformada de Karhunen-Loève, que é, do ponto de vista teórico, ótima sob vários aspectos importantes para o processamento digital de sinais, apresentando sobre esta a vantagem apreciável de ser independente da função de entrada.P. Yip - op. cit., Cap. 3, pp. 310 a 311Esta propriedade também é exibida pela transformada discreta de cosseno.

Definições Se chamarmos fk e Sk ao k-ésimo coeficiente de f(k) e S(k), respectivamente, podemos definir a transformada discreta de seno de tipo 1 (DST1) por meio da expressão seguinte:

Vemos que a sequência S(k) terá apenas n-1 valores, porque os coeficientes extremos devem ser nulos: tanto k quanto j situam-se no intervalo [1,n-1], e não no intervalo [0,n-1], como é usual na definição de transformadas discretas. A transformada inversa é dada por

também com k e j no intervalo [1,n-1]. Note-se a simetria entre a transformação direta e a inversa, e a similaridade com as transformações contínuas correspondentes.

Alternativamente, pode-se definir a DST1 como a matriz que, multiplicada por f(k), resulta em S(k); em notação matricial, S = Ds · f. Se denotarmos os coeficientes da matriz Ds por sjk, podemos escrever

Como a transformada de seno é simétrica, a mesma matriz serve para a obtenção da inversa.Em matemática, essa propriedade se chama involução. Assim, podemos escrever f = Ds · S.Britanak, Rao e Yip - Discrete Cosine and Sine Transforms. General Properties, Fast Algorithms and Integer Approximations, Academic Press, 2006, Cap. 2, pp. 16 a 48

A título de exemplo, eis a matriz S para n = 4:

Propriedades Ortonormalidade A matriz da DST1 (Ds) é unitária e composta de vetores coluna ortogonais. Essas duas propriedades implicam que esses vetores formam uma base ortonormal.Geometricamente, a transformação equivale a uma rotação do vetor de entrada f(k) (ou S(k), se se tratar da transformada inversa). Isso é expresso matematicamente por meio do produto interno:

onde dk é um vetor coluna qualquer de Ds, e δ é o delta de Kronecker.P. Yip - op. cit., cap. 3, pp. 306 a 309

Escalamento no domínio do tempoComo a transformada é linear, a expressão é trivial. Seja f(k) a sequência de valores amostrados a partir de f(t), e g(k) a sequência de valores amostrados a partir de g(t), segundo critérios idênticos (em particular, o número de amostras n e o intervalo Δt entre as mesmas). Seja g(t) = f(at). Como a transformação não trabalha diretamente com o tempo, e sim sobre sequências de valores amostrados, uma mudança na escala de tempo não altera a transformada.É a operação de amostragem que deve levar em conta a escala de tempo, primeiro para garantir que a taxa de amostragem seja adequada, e segundo para reconstituir o sinal a partir da transformada inversa, se necessário. Podemos escrever

Nisso a versão discreta da transformada de seno difere da versão contínua.

Deslocamento no tempo Seja f(k) a sequência de valores amostrados a partir de f(t), e g(k) a sequência de valores amostrados a partir de g(t), segundo critérios idênticos (em particular, o número de amostras n e o intervalo Δt entre as mesmas), e seja g(t) = f(t + Δt). Nesse caso, é óbvio que gk = fk+1 para 0 ≤ k < nE gn = 0.. Demonstra-se que:

onde Gk é o k-ésimo coeficiente da transformada discreta de seno de g(k), sk é o k-ésimo coeficiente da transformada discreta de seno de f(k), ck é o k-ésimo coeficiente da transformada discreta de cosseno de f(k) e fk é o k-ésimo coeficiente de f(k).

Diferenciação Num domínio discreto, o operador de diferença Δ tem papel análogo ao do operador diferencial em um domínio contínuo. Seja f(k) a sequência de valores amostrados a partir de f(t), e g(k) a sequência de valores amostrados a partir de g(t), segundo critérios idênticos (em particular, o número de amostras n e o intervalo Δt entre as mesmas), e seja g(t) = f(t + Δt). A derivada de f(t) pode ser aproximada por uma função h(t) tal que

Nesse caso, a aplicação do operador de diferença a f(k) resulta numa nova sequência h(k); podemos escrever Δf(k) = h(k). Os coeficientes de h(k) serão tais que hk = gk - fk = fk+1 - fk, para 0 ≤ k < nE hn = -fn.. A DST1 de h(k) será dada por

devido à propriedade básica de linearidade da transformação. É óbvio que h(k) está relacionada a h(t); os coeficientes de h(k) são os valores amostrados de h(t) multiplicados pela constante Δt. Como h(t) aproxima f'(t), podemos escrever

onde f'(k) é a sequência de valores amostrados de f'(t). Comparando-se a expressão (4c) com as expressões para a transformada de seno de f'(t), a derivada de f(t), percebe-se que neste caso a versão discreta se comporta de forma bastante diferente da versão contínua.

Da mesma forma, o comportamento da DST1 com relação à integração no domínio do tempo, à integração no domínio da frequência e à convolução não são similares ao da transformada contínua de seno. Essa é uma das grandes desvantagens da versão discreta.

Outras versões da DST Interpretação A DST1 pode ser pensada simplesmente como a discretização da transformada de seno. No entanto, a DST pode ser considerada de forma mais geral, a partir do problema físico do oscilador harmônico não amortecido, quando resolvido pelo método das diferenças finitas. A equação diferencial linear de segunda ordem

onde x(t) descreve a posição da massa oscilante em um instante t qualquer, se transforma então na equação de diferença

onde k é o tempo discreto. A solução da equação diferencial acima é uma combinação de funções senoidais; essas funções são as chamadas autofunções do problema. As autofunções da equação de diferença acima também são senoidais, com a diferença que neste caso são senóides discretizadas. Dois tipos de condição de contorno são especialmente relevantes: a condição de contorno de Neumann, no caso contínuo, e no caso discreto a condição de contorno de Dirichlet, no caso contínuo, e no caso discreto

Em geral, essas condições são aplicadas ao ponto inicial (x=0) ou ao ponto final do oscilador (x=L). Quando, no caso discreto, tais pontos coincidem com a grade que discretiza o problema, as autofunções coincidem com a DST1 e a DCT1, que correspondem exatamente às transformadas contínuas de seno e de cosseno; quando, ao contrário, os pontos extremos não estão posicionados sobre a grade, e sim a meio caminho entre duas linhas sucessivas da mesma, as autofunções do problema devem ser expressas a partir das outras versões discretas: DST2, DST3 etc.

Definições As diversas versões da DST, assim, podem ser obtidas: aplicando-se a condição de contorno de Dirichlet no ponto inicial (x = 0)A aplicação a esse ponto da condição de contorno de Neumann resulta em 8 versões para a transformada discreta de cosseno. considerando que este ponto está sobre a grade ou que está a meio caminho entre duas linhas sucessivas da grade e aplicando-se a condição de contorno de Dirichlet ou a condição de contorno de Neumann no ponto final (x = L) considerando que este ponto está sobre a grade ou que está a meio caminho entre duas linhas sucessivas da grade o que dá um total de 8 possibilidades, que estão listadas na tabela abaixo. Apenas as 4 primeiras são geralmente consideradas na literatura (as chamadas versões "pares" da DST); as demais (as versões "ímpares") aparecem a título de completude. A definição de cada versão aparece como o coeficiente da matriz que define a transformação, nos moldes da equação (3a) que define a DST1.

+ Tabela 1 - Versões da transformada discreta de senoBritanak, Rao e Yip - op. cit, Cap. 4, pp. 73 a 132Posição do ponto inicialCondição aplicada ao ponto finalPosição do ponto finalVersão da transformaçãoDefiniçãosobre a gradeDirichletsobre a gradeDST1fora da gradeDirichletfora da gradeDST2sobre a gradeNeumannsobre a gradeDST3fora da gradeNeumannfora da gradeDST4sobre a gradeDirichletfora da gradeDST5sobre a gradeDirichletfora da gradeDST6sobre a gradeNeumannfora da gradeDST7fora da gradeNeumannsobre a gradeDST8onde: sjk é o coeficiente da matriz S que define a transformação: O = S · f

"fora da grade" significa "a meio caminho entre duas linhas sucessivas da grade"

Propriedades As diversas versões da DST são lineares mas, apesar de serem todas unitárias, nem todas são suas próprias inversas. Se denotarmos por Dn a matriz de transformação da DSTn, podemos escrever:

Com relação ao escalamento no domínio do tempo e à diferenciação, todas elas se comportam da forma apresentada acima para a DST1. Com relação a um deslocamento no tempo, entretanto, elas diferem bastante uma da outra.

Desempenho da transformação Métricas estatísticas