Em teoria analítica dos números o Teorema de Linnik é uma resposta a uma questão sobre Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas. Ele afirma que existem números positivos c e L tais que, se representarmos p(a,d) o menor primo em progressão aritmética
onde n percorre o conjunto dos inteiros positivos; e a e d são quaisquer inteiros co-primos no intervalo 1 ≤ a ≤ d - 1, então:
O teorema tem este nome devido a Yuri Vladimirovitch Linnik, que o provou em 1944.Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368 Embora a prova de Linnik mostrasse que c e L serem efetivamente computáveis, ele não forneceu valores numéricos para eles.
Propriedades
Sabe-se que para L ≤ 2 para quase todos os inteiros d.E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.
Na hipótese generalizada de Riemann pode-se mostrar que
onde é a função totiente.
Há ainda uma conjectura de que:
Limites para L A constante L é chamada de constante de Linnik e a tabela a seguir mostra o progresso que tem sido feito em determinar seu tamanho.
L ≤ Ano de publicação Autor 10000 1957 PanPan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311-313 5448 1958 Pan 777 1965 ChenJingrun Chen On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868-1871 630 1971 Jutila 550 1970 JutilaJutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp. 168 1977 ChenJingrun Chen On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529-562 80 1977 JutilaJutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45-62 36 1977 GrahamApplications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977 20 1981 GrahamGraham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163-179 (submetido antes do trabalho de Chen de 1979) 17 1979 ChenJingrun Chen On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859-889 16 1986 Wang 13.5 1989 Chen and LiuJingrun Chen and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654-673Jingrun Chen and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792-807 8 1990 WangWang On the least prime in an arithmetical progression. Acta Mathematica Sinica, New Series 1991 Vol. 7 No. 3 pp. 279-288 5.5 1992 Heath-BrownHeath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265-338 5.2 2009 XylourisTriantafyllos Xylouris, On Linnik's constant (2009). 5 2011 XylourisTriantafyllos Xylouris, Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression (2011). Dr. rer. nat. dissertation.
Além disso, no resultado de Heath-Brown', a constante c é efetivamente computável.
Notas
Categoria:Teoria dos crivos Categoria:Teoremas na teoria dos números