200px|thumb|Uma 2-esfera representada no espaço euclidiano tridimensional. Trata-se de uma superfície de dimensão 2 que delimita a 3-bola.
Em matemática, uma n-esfera (ou hiperesfera) de raio é a generalização da circunferência e da esfera ordinária para espaços euclidianos de dimensão arbitrária. A -esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço euclidiano de dimensão que estão a uma distância fixa de um ponto central fixo.
Em termos de topologia, a -esfera é uma variedade diferenciável compacta de dimensão , sem bordo, e que é o bordo da n-bola de dimensão . Costuma-se denotar a -esfera unitária (de raio ) por ou .
Definição Para qualquer número natural , a -esfera de raio centrada em é formalmente definida como o subconjunto de :
Quando o centro está na origem () e o raio é unitário (), a esfera é chamada de -esfera unitária e é dada por:
Distinção de dimensão A dimensão da -esfera é , embora ela esteja naturalmente imersa no espaço euclidiano de dimensão : A 0-esfera () é o par de pontos discretos , correspondendo às extremidades de um segmento de reta (uma 1-bola). A 1-esfera () é a circunferência habitual no plano , que delimita o disco (uma 2-bola). A 2-esfera () é a superfície esférica bidimensional no espaço , que delimita a bola tridimensional sólida (uma 3-bola). A 3-esfera ( ou glomo) é uma variedade tridimensional imersa no espaço quadridimensional . De modo geral, a -esfera () é uma hipersuperfície -dimensional contida em .
Exemplos de baixa dimensão Símbolo Nome comum Espaço ambiente Dimensão Descrição Par de pontos 0 Dois pontos isolados . Circunferência 1 Curva unidimensional fechada. Esfera 2 Superfície esférica clássica. 3-esfera (Glomo) 3 Superfície tridimensional curva no espaço 4D.
Volume e área da superfície Seja a bola sólida de dimensão e raio delimitada pela -esfera . A medida da -esfera corresponde à "área" de sua hipersuperfície de dimensão , enquanto a -bola possui um "hipervolume" de dimensão .
Usando a função gama , o hipervolume da -bola e a área de superfície da -esfera são expressos por:
Fórmulas explícitas em baixas dimensões Medida da superfície da -esfera Volume da -bola 0 1 2 3 4 5
Comportamento assintótico À medida que a dimensão , tanto o volume da bola unitária quanto a área da esfera unitária convergem rapidamente para zero:
O volume máximo da bola unitária ocorre para a dimensão (onde ), enquanto a área da esfera unitária atinge seu valor máximo em (onde ).
Coordenadas hiperesféricas Assim como as coordenadas polares generalizam-se para coordenadas esféricas em , é possível definir um sistema de coordenadas hiperesféricas em . Qualquer ponto pode ser parametrizado por uma distância radial e ângulos , onde e :
O elemento de volume na -esfera unitária induzido pela métrica euclidiana é:
Projeção estereográfica 220px|thumb|Ilustração da projeção estereográfica a partir do polo norte em direção a um plano. A projeção estereográfica é uma transformação conforme que mapeia a esfera privada de um ponto (geralmente o polo norte ) de forma difeomórfica ao espaço euclidiano .
A projeção associa o ponto ao ponto por:
A transformação inversa é dada por:
Esta projeção demonstra que é a compactificação de um ponto de , isto é, .
Propriedades topológicas e geométricas
Homologia e Homotopia Os grupos de homologia simplicial e singular da -esfera com coeficientes inteiros são:
Para os grupos de homotopia : para todo . , onde o gerador é o grau topológico da aplicação identidade (Grau de Brouwer). Para , os grupos podem ser não triviais e exibem estruturas algébricas ricas (por exemplo, por meio da Fibração de Hopf).
Teorema da Bola Cabeluda Pelo Teorema da bola cabeluda, uma -esfera admite um campo vetorial tangente contínuo que nunca se anula se, e somente se, for um número ímpar. Isso significa que (a superfície esférica comum) não pode ser "penteada" sem que haja ao menos um ponto de descontinuidade ou vértice nulo.
Paralelizabilidade e Estruturas de Lie Uma esfera é dita paralelizável se seu feixe tangente for trivial. Pelo teorema de Adams, as únicas esferas paralelizáveis são: , , e .
Dentre elas, apenas as três primeiras admitem estrutura de grupo de Lie: (grupo discreto de 2 elementos). (grupo circular / números complexos unitários). (grupo unitário especial / quaterniões unitários). é parametrizada pelos octoniões unitários, mas não forma um grupo de Lie devido à falta de associatividade.
Esferas exóticas Em 1956, John Milnor provou a existência de esferas exóticas: variedades diferenciáveis que são homeomorfas à 7-esfera padrão , mas não são difeomorfas a ela. Posteriormente, mostrou-se que existem exatamente 28 estruturas diferenciáveis distintas na 7-esfera.
Ver também 3-esfera Variedade (matemática) Geometria não euclidiana
Ligações externas
Categoria:Esferas Categoria:Topologia diferencial Categoria:Geometria diferencial Categoria:Variedades topológicas