Na matemática, especificamente cálculo e análise complexa, a derivada logarítmica de uma função é definida pela fórmula: , onde é a derivada de
Nestas condições, muitas propriedades básicas do logaritmo também são válidas para essa condição, ainda quando a função não toma valores reais positivos. Algumas destas identidades são:
Demonstração da derivada logarítmica Considerando uma função logarítmica do logaritmo natural , vamos provar que sua derivada é a .
thumb|400x400px|O logaritmo natural de t é a área hachurada do gráfico da função f(x) = 1/x. Utilizando o conceito de derivada, temos que:
Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmo fazemos:
Aplicando uma mudança de variável
→
Observamos que, quando h→0, então t→0. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:
No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que
Logo:
Mas, , portanto :
Categoria:Análise complexa Categoria:Cálculo diferencial