As regiões em cinza são lúnulas. Lúnula é um termo em geometria para uma região côncava-convexa formada por dois arcos.
Bibliografia OLIVEIRA, Alfredo Luiz Chaves de. O Teorema de Pitágoras: Demonstrações e Aplicações. 2013. 46 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Universidade Estadual do Ceará, Fortaleza, 2013. Cap. 4Hipócrates de Quios (cerca de 470 – 410 a.C) foi um dos pitagóricos. Apesar de haver poucos relatos de sua vida, sabe-se que foi um excelente geômetra, gostava muito de analisar as luas crescentes, que em matemática chama-se Lúnulas. Ensinou Geometria em Atenas e dedicou muito de seu tempo estudando problemas de meandros da história antiga, entre eles destaca-se A Quadratura do Círculo e Duplicação do Cubo. Durante as tentativas de quadrar o círculo Hipócrates calculou áreas de algumas “lúnulas”, que resultou em um problema conhecido hoje como Lúnulas de Hipócrates.
Definição Uma Lúnula também é conhecida como “lua” ou “meia-lua”, em geometria uma lúnula é uma figura geométrica limitada por dois arcos circulares de raios distintos.
Formalmente, uma lúnula é um complemento de um círculo em outro, situados de forma que ambos se intersectem, e nenhum seja subconjunto do outro. Isto é se X e Y são círculos, então:
Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo Seja ABC um triângulo retângulo, reto em Â. Utilizando três semicírculos: seja BC o diâmetro da semicircunferência que passa por A, o diâmetro AB e o diâmetro AC, desta forma obtemos as lúnulas E e D formadas sobre os catetos. miniaturadaimagem|Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo
Demonstração Hipócrates concluiu utilizando a generalização do teorema de Pitágoras, que a medida da área do triângulo retângulo ABC é igual à soma das medidas das áreas das lúnulas construídas sobre seus catetos. miniaturadaimagem|Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo Seja x e Y, respectivamente, as regiões delimitadas pelo semicírculo de diâmetro BC e pelos catetos AC e AB, como mostra a figura.
Sendo A(t), A(e), A(d), A(x) e A(y), respectivamente as áreas do triângulo, das lúnulas e das regiões X e Y, podemos escrever: Área do semicírculo de diâmetro BC: (1) Área do semicírculo de diâmetro AB: (2) Área do semicírculo de diâmetro AC: (3) Somando membro a membro as igualdades (2) e (3), obtemos:
Como o triângulo é ABC é retângulo, temos que a, b e c satisfazem a relação dada pelo teorema de Pitágoras, deste modo a relação dada acima pode ser expressa da seguinte forma:
Comparando essa equação com a igualdade (1) obtemos:
Desta forma podemos concluir que