miniaturadaimagem|Um conjunto em R2 satisfazendo as hipóteses do teorema de Minkowski. Em matemática, o teorema de Minkowski diz que qualquer conjunto convexo em Rn que seja simétrico em relação à origem e que tenha volume superior a 2n d(L) contém um ponto não nulo do reticulado L. O teorema foi provado por Hermann Minkowski, em 1889, e tornou-se a fundação do ramo da teoria dos números chamado geometria dos números.
Formulação Suponha que L é um reticulado n-dimensional (no espaço vetorial Rn) cujo determinante é d(L) e que S é um subconjunto convexo de Rn, simétrico com relação à origem, o que significa que, se x pertence à S , então −x também pertence. O teorema de Minkowski afirma que se o volume de S é estritamente maior que 2n d(L), então S tem de conter pelo menos um ponto de L que não seja a origem.Uma vez que o conjunto S é simétrico, o fato de ter um ponto que não é a origem implica S ter, ao menos, três pontos do reticulado: a origem e um par de pontos ±x, onde x ∈ L \ 0.
Exemplo O exemplo mais simples de um reticulado é o conjunto Zn de todos os pontos com coeficientes inteiros: o seu determinante é 1. Para n = 2, o teorema afirma que qualquer figura convexa no plano e simétrica com relação à origem tem pelo menos um ponto do reticulado além da origem se tiver área maior do que 4. Esse limitante na área é bem justo: se S é o interior do quadrado com vértices (±1, ±1), então S é simétrico e convexo, tem área 4, mas o único ponto do reticulado contido nele é a origem. Esta observação pode ser generalizada para cada dimensão n.
Prova miniaturadaimagem|Ilustração do teorema de Minkowski, sobre aritmética geométrica. O seguinte argumento prova o teorema Minkowski para o caso especial de L=Z2. Ele pode ser generalizada para reticulados arbitrários em dimensões arbitrárias.
Considere o mapa . Intuitivamente, este mapa corta o plano em quadrados 2 por 2, em seguida, empilha os quadrados em cima uns dos outros. Claramente tem área ≤ 4. Suponha que f é injetora, o que significa que os pedaços de S cortados em quadrados e empilhados não têm sobreposição. Como f preserva a área localmente, esta propriedade de não-sobreposição faz com que a área seja preservada para todo o S, portanto, a área de f(S) é a mesma que a de S, que é maior do que 4. Isto gera uma contradição. Logo, f não é injetora e para algum par de pontos em S. Além disso, sabemos que a partir da definição de f temos para alguns inteiros i e j, onde i e j não são ambos zero.
Então, como S é simétrica com relação à origem, é também um ponto em S. Como S é convexo, o segmento de linha entre e situa-se inteiramente em S e, em particular, o ponto médio do segmento também pertence à S. Em outras palavras,
está em S. (i,j) é um ponto do reticulado e não é a origem, pois i e j não são ambos nulos, terminando a prova.
Aplicações Uma aplicação deste teorema é o resultado que cada classe da classe ideal de grupo de um corpo numérico algébrico K contém um ideal fracionário cuja norma não é superior a um determinado limite, dependendo de K, chamado limite de Minkowski: a finitude do número de classe de um corpo algébrica segue imediatamente desse fato.
O Teorema de Minkowski também é útil para provar o Teorema de Fermat-Lagrange, que afirma que todo número natural pode ser escrito como a soma dos quadrados de quatro números naturais.
Ver também Teorema de Pick Segundo teorema de Minkowski
Notas
Referências J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions). John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991. C. G. Lekkerkerker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969. Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000. Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. "Minkowski's theorem"PlanetMath Stevenhagen, Peter. Number Rings.
Categoria:Teoremas na teoria dos números Categoria:Hermann Minkowski