A Conjectura de Agoh-Giuga é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos e os números de Bernoulli. Seu nome é homenagem a Takashi Agoh e Giuseppe Giuga. Giuga, Giuseppe. Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi.

Conjectura

A conjectura afirma que, p é um número primo se e somente se

Onde Bk é o k-ésimo número de Bernoulli.

Esta é a formulação atual da conjectura é de 1990, devido a Agoh. Uma formulação equivalente, feita por Giuga em 1950, afirma que p é um número primo se

equação que também pode ser escrita da seguinte forma utilizando notação de somatório:

É fácil mostrar que p ser primo é condição suficiente para o lado esquerdo da equivalência ser satisfeito, uma vez que podemos utilizar o pequeno teorema de Fermat, que enuncia que, se p é primo,

para , e a equivalência segue como consequência direta, já que 

Status

A conjectura ainda não foi provada para um número n quando este não é primo (ou seja, quando n é composto). Apesar disso, já foi demonstrado que um número composton satisfaz a fórmula se e somente se este é um número de Carmichael e um número de Giuga, e se este de fato existir, tem pelo menos 13800 dígitos.(Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996) Laerte Sorini, em um trabalho de 2001, mostrou que um possível contra-exemplo deve ser um número n maior que   1036067. Sorini, Laerte. Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga

Relações com o Teorema de Wilson

A conjectura de Agoh–Giuga guarda certas semelhanças com o Teorema de Wilson, que já foi provado como sendo verdadeiro.

O Teorema de Wilson nos diz que p é um número primo se e somente se

onde pode ser reescrito usando a notação de produtório como:

Para p primo ímpar, 

enquanto para p=2 (o único primo par), temos que:

Então, a veracidade da Conjectura de Agoh–Giuga combinada com o Teorema de Wilson nos fornece a seguinte afirmação: 

Um número p é primo se e somente se

e

Programa em Python

Vários tipos de programas podem ser feitos para testar a conjectura de Agoh-Giuga, sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que testa a conjectura para os números entre 1 e 500:

listnumbers = range(1,500) for i in listnumbers: sum = 0 value = 1 while value <= i-1: sum+=value**(i-1) value+=1 if ((sum%i)+1)%i == 0: print("%d é primo pela conjectura de Agoh-Giuga!"%(i))

Ver também  Conjectura de Oppermann  Número de Giuga  Número de Carmichael  Conjectura de Goldbach  Teorema de Wilson Pequeno teorema de Fermat Último teorema de Fermat

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