Em matemática, abstração é o processo de extrair a essência fundamental de um conceito matemático, removendo qualquer dependência do mundo real os objetos com os quais se pode originalmente ter estado ligado, e generalizando para que ele tenha mais aplicações ou correspondências entre outras descrições abstratas de equivalente fenômenos.Bertrand Russell, em The Principles of Mathematics Volume 1 (pg 219), refere-se ao "princípio da abstração".Robert B. Ash. A Primer of Abstract Mathematics. Cambridge University Press, Jan 1, 1998The New American Encyclopedic Dictionary. Editado por Edward Thomas Roe, Le Roy Hooker, Thomas W. Handford. Pg 34 Duas das mais abstratas áreas da matemática moderna são teoria das categorias e teoria dos modelos.
Descrição Muitas áreas da matemática começaram a estudar problemas do mundo real antes das regras fundamentais e conceitos fossem identificadas e definidas como estruturas abstratas. Por exemplo, a geometria tem suas origens no cálculo de distâncias e áreas no mundo real; a álgebra começou com métodos de solução de problemas de aritmética.
A abstração é um processo contínuo na matemática e o desenvolvimento histórico de muitos tópicos matemáticos apresenta uma progressão do concreto para o abstrato. Tomando o desenvolvimento histórico da geometria como um exemplo; os primeiros passos na abstração desse campo foram feitos pelos antigos Gregos, com Os Elementos de Euclides sendo a primeira documentação existente dos axiomas da geometria plana — apesar de Proclus contar a história de uma axiomatização por Hipócrates de Quios. No século XVII Descartes introduziu as coordenadas cartesianas, o que permitiu o desenvolvimento da geometria analítica. Novos passos na abstração foram tomados por Lobachevsky, Bolyai, Riemann e Gauss, que generalizaram os conceitos de geometria para desenvolver geometrias não Euclidianas. Mais tarde, no século XIX, os matemáticos de geometria generalizada foram mais além, desenvolvendo áreas como a geometria em n dimensões, geometria projetiva, geometria afim e geometria finita. Finalmente, o "programa de Erlangen" de Felix Klein identificou o tema fundamental de todas as geometrias, definindo cada uma delas como o estudo de propriedades invariantes sob um determinado grupo de simetrias. Este nível de abstração revelou conexões entre a geometria e a álgebra abstrata.
As vantagens de abstração são: Ela revela as profundas conexões entre diferentes áreas da matemática; Resultados conhecidos em uma área podem sugerir conjecturas em uma área relacionada; Técnicas e métodos de uma área podem ser aplicados para provar resultados em uma área relacionada. Uma desvantagem da abstração é que conceitos altamente abstratos podem ser difíceis de aprender."... introducing pupils to abstract mathematics is not an easy task and requires a long-term effort that must take into account the variety of the contexts in which mathematics is used", P.L. Ferrari, Abstraction in Mathematics, Phil. Trans. R. Soc. Lond. B 29 July 2003 vol. 358 no. 1435 1225-1230 Um grau de maturidade matemática e experiência pode ser necessária para a assimilação conceitual de abstrações. Um dos princípios fundamentais a abordagem Montessori da educação matemática é incentivar as crianças a mover-se a partir de exemplos concretos para o pensamento abstrato.Montessori Philosophy: Moving from Concrete to Abstract, North American Montessori Center
Bertrand Russell, em The Scientific Outlook (A Perspectiva Científica) de 1931, escreve que "a linguagem comum é totalmente inadequada para expressar o que a física realmente afirma, uma vez que as palavras da vida cotidiana não são suficientemente abstratas. Só matemática e lógica matemática podem dizer um pouco do que o físico quer dizer."
Ver também Generalização O pensamento abstrato Resumo lógica algébrica Modelo abstrato da teoria
Referências
Leitura complementar
Categoria:Abstração Categoria:Terminologia matemática