Em matemática, a identidade aditiva de um conjunto que está equipado com a operação de adição é um elemento que quando adicionado a qualquer elemento do conjunto, resulta em Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, mas identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis.
Exemplos elementares A identidade aditiva familiar da matemática elementar é o zero, denotado por 0. Por exemplo, Nos números naturais e em todos os seus superconjuntos (os números inteiros os números racionais os números reais e os números complexos ), a identidade aditiva é 0. Assim, para qualquer número pertencente a um desses conjuntos vale:
Definição formal Seja um conjunto fechado sob a operação de adição, denotada . Um aditivo de identidade para é qualquer elemento tal que, para qualquer elemento em
Exemplos Em um grupo a identidade aditiva é o elemento identidade do grupo, que é usualmente denotado como e é único.Seja um grupo fechado sob a operação de adição e sejam ambos identidades aditivas. Então para qualquer e
Segue diretamente do exposto acima que
Um anel ou corpo é um grupo sob a operação de adição e portanto também têm uma identidade aditiva única Este é definido como sendo diferente da identidade multiplicativa se o anel (ou corpo) tem mais de um elemento. Se as identidades aditiva e multiplicativa são idênticas, então o anel é trivial.Seja um anel e suponha que a identidade aditiva e a identidade multiplicativa são iguais, ou seja, Seja qualquer elemento de Então:
provando que é trivial, isto é, O contrapositivo, que se é não-trivial então é diferente de deriva diretamente dessa prova. Em um sistema com operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo, significando que para qualquer em Seja um sistema com operação de multiplicação distribuída sobre a adição. Seja e seja a identidade aditiva de Então:
Ver também 0 (número) Elemento de identidade Multiplicativo de identidade
Categoria:Zero Categoria:Álgebra abstrata Categoria:Teoria dos grupos Categoria:Teoria dos anéis