thumb|170px|Uma circunferência centrada na origem de relativa a três normas distintas Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

Definição Dado um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais ou complexos, uma função é chamada de norma se, para quaisquer e todo SANTOS (2010), p.3, ex. 54. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.

(desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por

Métrica e topologia induzida Toda norma induz de forma natural uma métrica em cujos valores são dados por:SANTOS (2010), p.60.

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

Normas equivalentes Duas normas e sobre o mesmo espaço vetorial são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas e tais que:

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Normas em espaços de dimensão finita Seja a representação de um vetor em ou

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas :

O caso particular em que corresponde à norma euclidiana:

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Norma matricial

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem denotado por uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se então a norma 1 da matriz é o número não negativo dado por

A norma 1 da matriz por exemplo, éBoldrini et. al, p. 342.

Normas em espaços de dimensão infinita Espaços LP

As normas têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

Produto interno

Se um espaço vetorial possui um produto interno, este pode definir uma norma, dada pelo produto interno do vetor com ele mesmo.

Se uma norma provém de um produto interno, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.

Bibliografia SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.

Ver também Produto interno Espaço de Banach Espaço euclidiano Espaço métrico Espaço vetorial topológico Funcional de Minkowski

Categoria:Álgebra linear Categoria:Análise funcional