Na teoria das probabilidades relativa aos processos estocásticos, um processo de Feller é um tipo particular de processo de Markov.
Definições Considere um espaço de Hausdorff localmente compacto com uma base contável. Considere que denota o espaço de todas as funções contínuas de valores reais em que desaparecem no infinito, equipadas com a norma uniforme . A partir da análise, sabemos que com a norma uniforme é um espaço de Banach.
Um semigrupo de Feller em é uma coleção de mapas lineares positivos de a ela mesma, tal que: para todo e em , isto é, é uma contração (no sentido fraco); A propriedade do semigrupo: para todo ; para toda em . Usando a propriedade do semigrupo, isto é equivalente ao mapa de em a sendo contínuo à direita para toda .
Esta terminologia não é uniforme ao longo da literatura. Em particular, o pressuposto de que mapeia em si mesmo é substituído por alguns autores pela condição de que mapeia , o espaço das funções contínuas limitadas, em si mesmo. A razão para isto é dupla: em primeiro lugar, permite incluir processos que entram "a partir do infinito" no tempo finito, e, em segundo lugar, é mais adequado para o tratamento de espaços que não são localmente compactos e, para isto, a noção de "desaparecer no infinito" não faz sentido.
Uma função de transição de Feller é uma função de transição de possibilidade associada com um semigrupo de Feller.
Um processo de Feller é um processo de Markov com uma função de transição de Feller.
Gerador Processos de Feller (ou semigrupos de transição) podem ser descritos por seu gerador infinitesimal. Uma função em é dita no domínio do gerador se o limite uniforme:existe. O operador é o gerador de e o espaço das funções em que é definido é escrito .
Uma caracterização dos operadores que podem ocorrer como o gerador infinitesimal do processo de Feller é dada pelo teorema de Hille–Yosida. Isto usa o resolvente do semigrupo de Feller definido abaixo.
Resolvente O resolvente de um processo (ou semigrupo) de Feller é uma coleção de mapas de a ele mesmo definida por:Pode-se mostrar que satisfaz a identidade:Além disso, para qualquer , a imagem de é igual ao domínio do gerador e:
Exemplos O movimento browniano e o processo de Poisson são exemplos de processos de Feller. De forma mais generalizada, todo processo de Lévy é um processo de Feller. Processos de Bessel são processos de Feller. Soluções a equações diferenciais estocásticas com coeficientes contínuos de Lipschitz são processos de Feller. Todo processo de Feller satisfaz a propriedade forte de Markov.
Ver também Processo de Markov Processo de Hunt
Referências
Categoria:Processos estocásticos