Em teoria da medida, o teorema de Prokhorov relaciona o aperto das medidas à compacidade (e assim à convergência fraca) no espaço das medidas de probabilidade. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Yuri Prokhorov, que considerava medidas de probabilidade em espaços métricos separáveis completos. O termo "teorema de Prokhorov" é também aplicado a generalizações posteriores tanto às afirmações diretas, como inversas.
Afirmação do teorema Considere um espaço métrico separável. Considere que denota a coleção de todas as medidas de probabilidade definidas em (com sua σ-álgebra de Borel).
O teorema de Prokhorov afirma que: Uma coleção de medidas de probabilidade é apertada se e apenas se o fecho de for sequencialmente compacto no espaço equipado com a topologia de convergência fraca; O espaço com a topologia de convergência fraca é metrizável; Suponha que, além disso, é um espaço métrico completo (de modo que é um espaço polonês). Há uma métrica completa em equivalente à topologia de convergência fraca. Ademais, é apertada se e apenas se o fecho de em for compacto.
Corolários Para espaços euclidianos, temos que: Se for uma sequência apertada em (a coleção de medidas de probabilidade em um espaço euclidiano -dimensional), então, há uma subsequência e uma medida de probabilidade , tal que converge fracamente a . Se for uma sequência apertada em , tal que toda subsequência fracamente convergente tem o mesmo limite , então, a sequência converge fracamente a .
Extensão O teorema de Prokhorov pode ser estendido para considerar medidas complexas ou medidas sinalizadas finitas.
Suponha que é um espaço métrico separável completo e é uma família de medidas complexas de Borel em . As seguintes afirmações são equivalentes: é sequencialmente compacta, isto é, toda sequência tem uma subsequência fracamente convergente. é apertada e uniformemente limitada em norma de variação total.
Comentários Já que o teorema de Prokhorov expressa o aperto em termos de compacidade, o teorema de Arzelà–Ascoli é frequentemente usado para substituir a compacidade: em espaços de função, isto leva a uma caracterização do aperto em termos do módulo de continuidade ou um análogo apropriado.
Há várias extensões profundas e não triviais ao teorema de Prokhorov. Entretanto, estes resultados não obscurecem a importância e a relevância das aplicações do resultado original.
Ver também Métrica de Lévy–Prokhorov
Referências
Categoria:Teoremas de matemática Categoria:Teoria da medida Categoria:Teoria das probabilidades