Na mecânica quântica, o potencial delta é um poço de potencial matematicamente descrito pela função delta de Dirac - uma função generalizada. Qualitativamente, corresponde a um potencial que é zero em todos os lugares, exceto em um único ponto, onde leva um valor infinitoD.R. Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics, Springer, (1992). .
Potencial delta único A equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda de uma partícula em uma dimensão em um potencial é
onde é a constante reduzida de Planck e é a energia da partícula.
O potencial delta é o potencial
onde é a função delta de Dirac.
É chamado um potencial de poço delta se é negativo e um potencial de barreira delta se é positivo. O delta foi definido para surgir na origem por simplicidade; uma mudança no argumento da função delta não altera nenhum dos resultados procedentesThe Delta-Function Potential por Douglas Fields (1991).
Calculando a função de onda Para calcular a função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo, primeiro substituímos V(x) = λδ(x), ficando com:
Para x ≠ 0: Da própria definição da função delta de Dirac, sabemos que V(x) = 0 para todo x ≠ 0. Assim, nesse intervalo, a equação de Schrodinger que governa essa região, será a seguinte:
Cujas soluções já são conhecidas de outros exemplos mais simples (equação de onda para a partícula livre), que são:
onde
Entretanto, essa combinação linear tem de satisfazer condições de contorno. A função de onda não pode ir a infinito em nenhuma direção. Então, escolhemos a solução para ser a solução para e para ser a solução para . Assim, a função de onda não tende ao infinito em nenhuma direção do espaço. Outra condição de contorno, será que a função de onda deve ser uma função contínua, desta forma, obteremos que e então, a equação de onda será dada por:
Para obter a constante de normalização, precisamos integrar o módulo ao quadrado da função de onda por todo de espaço, e exigir que este seja igual a 1 (ou seja, como o módulo quadrado da função de onda nos dá a função densidade de probabilidade de encontrar a partícula, integra-la por todo o espaço tem de nos dar 100% de chance da partícula estar em algum lugar do espaço).
Logo, como
Assim, usando propriedades das exponenciais e das integrais e calculando-as:
Então, a constante de normalização
Assim, obtemos a função de onda normalizada:
Nível de energia Para obter o nível de energia, devemos utilizar a equação de Schrödinger com o potencial delta:
E então, integrar essa equação sobre o intervalo , da seguinte forma:
Utilizando-se do fato da integração ser um operador linear, podemos separar o lado esquerdo em duas integrais:
Então, sendo constante, tiramos da integração, e, como a função de onda é bem comportada, podemos integrar a derivação, e, utilizando a propriedade de filtragem da delta de dirac na segunda integral, teremos:
Derivando a função de onda, se tem:
Fazendo , o lado direito da equação tenderá a zero, pois o intervalo de integração tenderá a zero. A derivada da função de onda:
Assim, como :
Como e isolando a energia, obteremos o nível de energia:
Notas
Categoria:Mecânica quântica Categoria:Sistema de mecânica quântica