direita|miniatura|300px|O tensor de tensões de Cauchy de segunda ordem descreve a tensão experimentada por um material em um determinado ponto. Para qualquer vetor unitário , o produto é um vetor, denotado por , que quantifica a força por unidade de área ao longo do plano perpendicular a . Esta imagem mostra, para as faces de um cubo perpendiculares a , os correspondentes vetores de tensão ao longo dessas faces. Como o tensor de tensões recebe um vetor como entrada e produz um vetor como saída, trata-se de um tensor de segunda ordem.
Na matemática, um tensor é um objeto algébrico que descreve uma relação multilinear entre conjuntos de objetos algébricos associados a um espaço vetorial. Os tensores podem realizar mapeamentos entre diferentes entidades, tais como vetores, escalares e até mesmo outros tensores. Existem muitos tipos de tensores, incluindo escalares e vetores (que são os tensores mais simples), vetores duais (covetores), aplicações multilineares entre espaços vetoriais e certas operações como o produto escalar. Os tensores são definidos de forma independente de qualquer base, embora sejam frequentemente referidos por suas componentes em uma base associada a um sistema de coordenadas particular; essas componentes formam um arranjo, que pode ser concebido como uma matriz multidimensional.
Os tensores tornaram-se fundamentais na física, pois fornecem uma estrutura matemática concisa para formular e resolver problemas físicos em áreas como a mecânica (tensão, elasticidade, mecânica quântica, mecânica dos fluidos, momento de inércia, etc.), a eletrodinâmica clássica (tensor eletromagnético, tensor de Maxwell, permissividade, suscetibilidade magnética, etc.) e a relatividade geral (tensor de energia-momento, tensor de curvatura, etc.). Nas aplicações práticas, é comum estudar situações em que um tensor diferente atua em cada ponto de um corpo. Por exemplo, a tensão mecânica no interior de um objeto pode variar de um local para outro. Uma família de tensores que varia através do espaço dessa maneira constitui um campo tensorial. Em certas áreas, os campos tensoriais são tão onipresentes que são frequentemente chamados simplesmente de "tensores".
Tullio Levi-Civita e Gregorio Ricci-Curbastro popularizaram os tensores em 1900 — dando continuidade aos trabalhos anteriores de Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel e outros — como parte do cálculo diferencial absoluto. O conceito possibilitou uma formulação alternativa da geometria diferencial intrínseca de uma variedade na forma do tensor de curvatura de Riemann.
Definição Embora aparentemente distintas, as várias abordagens para a definição de tensores descrevem o mesmo conceito geométrico utilizando linguagens diferentes e em múltiplos níveis de abstração.
Como arranjos multidimensionais miniatura|300px|Comparação entre as cinco primeiras ordens de tensores. Um tensor pode ser representado como um arranjo (potencialmente multidimensional). Assim como um vetor em um espaço -dimensional é representado por um arranjo unidimensional com componentes em relação a uma dada base, qualquer tensor em relação a uma base é representado por um arranjo multidimensional. Por exemplo, um operador linear é representado em uma base como um arranjo quadrado bidimensional . Os números no arranjo multidimensional são denominados componentes ou elementos do tensor. Eles são indicados por índices que informam sua posição no arranjo, como subscritos e sobrescritos, acompanhando o nome simbólico do tensor. Por exemplo, as componentes de um tensor de ordem , , poderiam ser denotadas por , onde e são índices que variam de a , ou também por . A representação de um índice como sobrescrito ou subscrito depende das propriedades de transformação do tensor, descritas abaixo. Assim, embora e possam ambos ser expressos como matrizes e estejam numericamente relacionados pela alteração de índices, a diferença em suas leis de transformação indica que seria incorreto somá-los diretamente.
O número total de índices () exigido para identificar cada componente de forma unívoca é igual à dimensão ou ao número de vias do arranjo, razão pela qual um tensor é por vezes chamado de arranjo -dimensional ou arranjo de vias. O número total de índices é igualmente denominado ordem, grau ou posto de um tensor, muito embora o termo "posto" possua geralmente outro significado no contexto de matrizes e tensores.
Assim como as componentes de um vetor se alteram quando se muda a base do espaço vetorial, as componentes de um tensor também mudam sob tal transformação. Cada tipo de tensor é dotado de uma lei de transformação que detalha como suas componentes respondem a uma mudança de base. As componentes de um vetor podem responder de duas maneiras distintas a uma mudança de base (ver covariância e contravariância de vetores), em que os novos vetores da base são expressos em termos dos vetores da base antiga como:
Aqui, são as entradas da matriz de mudança de base e, na expressão mais à direita, o sinal de somatório foi omitido: trata-se da convenção de somatório de Einstein, utilizada ao longo deste artigo.A convenção de somatório de Einstein exige, em suma, que a soma seja efetuada sobre todos os valores possíveis do índice sempre que o mesmo símbolo aparecer como subscrito e sobrescrito em um mesmo termo. Por exemplo, sob essa convenção, . As componentes de um vetor coluna transformam-se com a inversa da matriz :
onde o acento circunflexo denota as componentes na nova base. Essa relação é chamada de lei de transformação contravariante, porque as componentes do vetor transformam-se pela inversa da mudança de base. Em contraste, as componentes de um covetor (ou vetor linha), , transformam-se com a própria matriz :
Essa relação é chamada de lei de transformação covariante, porque as componentes do covetor transformam-se pela mesma matriz da mudança de base. As componentes de um tensor mais geral transformam-se por uma combinação de transformações covariantes e contravariantes, com uma regra de transformação para cada índice. Se a matriz de transformação de um índice for a matriz inversa da transformação de base, então o índice é dito contravariante e é convencionalmente denotado por um índice superior (sobrescrito). Se a matriz de transformação de um índice for a própria transformação de base, então o índice é dito covariante e é denotado por um índice inferior (subscrito).
Como exemplo simples, a matriz de um operador linear em relação a uma base é um arranjo retangular que se transforma sob uma matriz de mudança de base por . Para as entradas individuais da matriz, essa lei de transformação tem a forma , de modo que o tensor correspondente à matriz de um operador linear possui um índice covariante e um contravariante: é do tipo (1,1).
Combinações de componentes covariantes e contravariantes com o mesmo índice permitem expressar invariantes geométricos. Por exemplo, o fato de um vetor ser o mesmo objeto geométrico em diferentes sistemas de coordenadas pode ser expresso pelas seguintes equações, utilizando as fórmulas definidas acima:
onde é o delta de Kronecker, que atua de forma similar à matriz identidade e tem o efeito de renomear índices ( em neste exemplo). Isso demonstra várias características da notação de componentes: a capacidade de reorganizar termos à vontade (comutatividade), a necessidade de usar índices distintos ao trabalhar com múltiplos objetos em uma mesma expressão, a possibilidade de renomear índices e a maneira pela qual tensores contravariantes e covariantes se combinam de modo que todas as instâncias da matriz de transformação e de sua inversa se cancelam, permitindo que expressões como sejam imediatamente reconhecidas como geometricamente idênticas em todos os sistemas de coordenadas.
De modo semelhante, um operador linear, visto como um objeto geométrico, não depende intrinsecamente de uma base: trata-se apenas de uma aplicação linear que recebe um vetor como argumento e produz outro vetor. A lei de transformação de como a matriz de componentes de um operador linear muda com a base é consistente com a lei de transformação de um vetor contravariante, de modo que a ação de um operador linear sobre um vetor contravariante é representada em coordenadas pelo produto matricial de suas respectivas representações de coordenadas. Isto é, as componentes são dadas por . Essas componentes transformam-se contravariantemente, pois:
A lei de transformação para um tensor de ordem com índices contravariantes e índices covariantes é dada por:
Aqui, os índices com apóstrofo denotam componentes nas novas coordenadas, e os índices sem apóstrofo denotam as componentes nas coordenadas antigas. Diz-se que tal tensor é de ordem ou tipo . Os termos "ordem", "tipo", "posto", "valência" e "grau" são todos por vezes empregados para designar o mesmo conceito. Aqui, o termo "ordem" ou "ordem total" será utilizado para a dimensão total do arranjo (ou sua generalização em outras definições), no exemplo anterior, e o termo "tipo" para o par que fornece o número de índices contravariantes e covariantes. Um tensor de tipo também é denominado, abreviadamente, um -tensor.
Essa discussão motiva a seguinte definição formal:
Definição. Um tensor de tipo é a atribuição de um arranjo multidimensional
a cada base de um espaço vetorial -dimensional de tal modo que, ao aplicarmos a mudança de base
o arranjo multidimensional obedeça à lei de transformação:
A definição de um tensor como um arranjo multidimensional que satisfaz a uma lei de transformação remonta aos trabalhos de Ricci.
Uma definição equivalente de tensor utiliza as representações do grupo linear geral. Há uma ação do grupo linear geral sobre o conjunto de todas as bases ordenadas de um espaço vetorial -dimensional. Se for uma base ordenada e for uma matriz invertível , a ação é expressa por:
Seja o conjunto de todas as bases ordenadas. Então, é um espaço homogêneo principal para . Seja um espaço vetorial e seja uma representação de em (isto é, um homomorfismo de grupos ). Um tensor de tipo é uma aplicação equivariante . A equivariância aqui significa que:
Quando é uma representação tensorial do grupo linear geral, isso fornece a definição usual de tensores como arranjos multidimensionais. Essa formulação é frequentemente empregada para descrever tensores sobre variedades, generalizando-se facilmente para outros grupos.
Como aplicações multilineares
Uma desvantagem da definição de tensor pela abordagem de arranjos multidimensionais é que não é evidente a partir da definição que o objeto é de fato independente da base, como se espera de um objeto intrinsecamente geométrico. Embora seja possível demonstrar que as leis de transformação asseguram a independência em relação à base, por vezes prefere-se uma definição mais intrínseca. Uma abordagem comum na geometria diferencial consiste em definir os tensores em relação a um espaço vetorial fixo (de dimensão finita) , habitualmente tomado como um espaço de significado geométrico particular, como o espaço tangente a uma variedade. Nessa abordagem, um tensor de tipo é definido como uma aplicação multilinear:
onde é o correspondente espaço dual de covetores, com a aplicação sendo linear em cada um de seus argumentos. O texto acima assume que é um espaço vetorial sobre os números reais, . De forma mais geral, pode ser estabelecido sobre qualquer corpo (por exemplo, os números complexos), com substituindo como contradomínio das aplicações multilineares.
Ao aplicar uma aplicação multilinear de tipo a uma base de e a uma base canônica dual de :