O teorema do gradiente, também conhecido como teorema fundamental do cálculo, para integrais de linha, diz que a integral de linha através do campo gradiente pode ser estimada calculando-se o campo escalar original nos pontos finais da curva.

Dado e é qualquer curva de para . Então,

Isso é uma generalização do teorema fundamental do cálculo para qualquer curva no plano ou no espaço (geralmente n-dimensões).

Implica ao teorema do gradiente que as integrais de linha através dos campos de gradiente são independentes do caminho. Na física, esse teorema é uma das maneiras de definir a força conservativa. Ao colocar como um potencial, é um campo conservativo. O trabalho realizado pelas forças conservativas não dependem do caminho seguido pelo objeto, depende somente dos pontos finais, como mostra a equação acima.

O teorema do gradiente também possui uma afirmação interessante: qualquer campo vetorial independente do caminho pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar. Assim como o próprio teorema do gradiente, essa consideração tem muitas consequências e aplicações marcantes na matemática pura e na matemática aplicada.

Prova Se é uma função diferenciável de algum subconjunto aberto (de ) para , e se é uma função diferenciável em algum intervalo fechado para , então, pela regra da cadeia, a função composta é diferenciável em e

para todo em . Aqui o é usual para denotar o produto interno.

Agora, supõem-se que o domínio de contenha a curva diferencial com pontos finais e , respectivamente (orientados na direção de para ). Se parametriza para em , então a equação acima mostra que Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 374. Pearson Education, Inc.

onde a definição de integral de linha é usada na primeira igualdade e o teorema fundamental do cálculo na terceira igualdade.

Exemplos

Exemplo 1 Suponha é o arco circular orientado no sentido anti-horário conforme: para . Usando a definição da integral de linha,

Observa-se todos os cálculos meticulosos envolvidos no cálculo direto da integral. Em vez de executar esse procedimento, considerando que a função é diferenciável em todo o , pode-se simplificar, usando o teorema do gradiente para dizer que,

Nota-se que para qualquer método adotado o resultado será o mesmo. Porém, utilizando o último procedimento, todo o trabalho já é realizado na prova do teorema do gradiente.

Exemplo 2 Num exemplo mais abstrato, suponha tendo , como pontos finais, com orientação de para . Para no , || denota a norma Euclidiana de . Se é um número real, então

Aqui a igualdade final segue o teorema do gradiente, já que a função f(x) = |x|^α+1 é diferenciável em se .

Se então essa equivalência de manterá na maioria dos casos, devendo-se tomar cuidado se γ transpôr ou cercar a origem, porque o campo vetorial da integral (|x|^α-1)*x não está definido ali. No entanto, o caso é um pouco diferente; pois o integrando se torna (|x|^-2)*x = ∇(log|x|), para que a igualdade final se torne log |q| - log |p|.

Exemplo 3 Supomos que existam cargas pontuais dispostas num espaço tridimensional e a carga pontual tem carga e está localizada na posição no . Quer-se calcular o trabalho realizado na partícula de carga enquanto ela viaja de um ponto para outro ponto no . Usando a Lei de Coulomb, pode-se facilmente determinar que a força na partícula na posição será

Aqui || denota a norma Euclidiana do vetor no , e , onde é a permissividade do vácuo.

Tomando por uma curva arbitrável diferenciável de para , então o trabalho feito na partícula é:

Agora, para cada , o cálculo direto mostra que

Assim, continuando os passos acima e usando o teorema do gradiente,

chega-se a essa conclusão final. Poderíamos ter completado facilmente esse cálculo usando o potencial eletrostático ou a energia potencial eletrostática (com as recorrentes fórmulas ). No entanto, ainda não se definiu o potencial de energia, porque a afirmação do teorema do gradiente é necessária para provar que essas funções são bem definidas e diferenciáveis ​​e que essas fórmulas são válidas. Portanto, resolvemos este problema utilizando apenas a Lei de Coulomb, a definição de trabalho e o teorema do gradiente.

Afirmação do Teorema do Gradiente O teorema do gradiente afirma que se campo vetorial é o gradiente de alguma função com valor escalar (i.e., e se for conservativo), então é um campo vetorial independente do caminho (i.e., a integral de ao longo de uma curva diferenciada por partes é dependente apenas dos pontos finais).

Este teorema tem uma forte afirmação: Se é um campo vetorial independente de caminho, então é o gradiente de alguma função com valor escalar."Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 410. Pearson Education, Inc." É simples mostrar que um campo vetorial é independente do caminho se, e somente se, a integral do campo vetorial sobre cada laço fechado em seu domínio for zero. Portanto, a afirmação pode, como uma alternativa, ser declarada da seguinte forma: Se a integral de sobre cada circuito fechado no domínio da for zero, então é o gradiente de alguma função com valor escalar.

Exemplo do princípio da afirmação

Para ilustrar a importância desse princípio, citamos um exemplo que possui em si consequências físicas significativas. No eletromagnetismo clássico, a força elétrica é uma força independente do caminho; i.e. o trabalho realizado por uma partícula que retornou à sua posição original dentro de um campo elétrico, é zero (assumindo que nenhum campo magnético variável está presente).

Portanto, o teorema acima implica que o campo de força elétrica é conservativo (onde é um subconjunto aberto de caminho, conectado com , que contém uma distribuição de carga). Seguindo as considerações acima, pode-se definir algum ponto de referência no e definir a função por:

Usando a sentença acima como prova, sabe-se que está bem definida e é diferenciável e (a partir dessa fórmula pode-se fazer uso do teorema do gradiente para, facilmente, derivar a fórmula, já conhecida, para o cálculo do trabalho realizado por forças conservativas: ). Muitas vezes a função é referenciada como a energia potencial eletrostática do sistema de cargas em (com referência ao potencial zero ). Em muitos casos, presume-se que o domínio é ilimitado e o ponto de referência é tomado como "infinito", o que pode ser feito com rigor, usando técnicas limitantes. A função é indispensável para a análise de muitos sistemas físicos.

Generalizações

Muitos dos teoremas de cálculo vetorial generalizam declarações sobre a integração de formas diferenciais. Na linguagem das formas diferenciais e derivadas externas, o teorema do gradiente afirma que

para qualquer forma diferencial, , definido em alguma curva diferenciável (aqui a integral de além do limite de entende-se como sendo a estimativa de nos pontos finais de γ).

Observa-se a semelhança entre a afirmação antes feita e a versão generalizada do Teorema de Stokes, no qual diz que a integral de qualquer forma diferenciável sobre o limite de várias orientações é igual à integral da sua derivada exterior sobre todo , i.e.,

Essa declaração é uma generalização do teorema do gradiente de formas 1, definidas em variedades unidimensionais para formas diferenciais determinadas para várias dimensões arbitrárias.

As considerações a respeito da inversa do teorema de gradiente possui uma grande generalização em termos de formas diferenciais variadas. Em particular, supõem-se que é uma forma definida em um domínio contraível e a integral de sobre qualquer domínio fechado é zero. Então, existe uma fórmula tal que . Assim, num domínio contratual toda forma fechada é igual a zero. Esse resultado é definido pelo teorema de Poincaré Lemma.

Ver também

Teorema da curva de Jordan Diferencial de uma função Mecânica Clássica

Categoria:Teoremas de matemática Categoria:Análise matemática