Na música, 53 temperamentos iguais, chamados 53 TET (53 Tons em Eqüi-Temperamento), 53 EDO (53 Eqüi-Divisões da Oitava) ou 53 ET, são a escala temperada derivada da divisão da oitava em 53 etapas iguais (relações de frequência iguais) () Cada passo representa uma taxa de frequência de 2 1⁄53 ou 22,6415 centes (), um intervalo às vezes chamado de coma Holdrian.Holder, William, Treatise on the Natural Grounds and Principles of Harmony, facsimile of the 1694 London edition, Broude Brothers, 1967Stanley, Jerome, William Holder and His Position in Seventeenth-Century Philosophy and Music Theory, The Edwin Mellen Press, 2002
O intervalo de 7⁄4 é de 4,8 cêntimos em sustenido no 53-EDO, e usá-lo para harmonia de 7 limites significa que o cleisma septimal ()., o intervalo 225⁄224, também é moderado.Monzo, Joe (2005). "Mercator's Comma", Tonalsoft.Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice, p. 350.
Por que 53?
A afinação pitagórica (ou temperamento pitagórico) é um sistema de entonação justa no qual intervalos de exatamente (também notados como 2:3) são usados para obterem-se as frequências conseguintes. Na música, intervalos 2:3 são chamados "quintas", por abrangerem 5 posições na pauta musical. Intervalos 1:2 são nomeados "oitavas" (por abrangerem 8 posições na pauta) e levam diretamente à próxima aparição da mesma nota.
Tomando-se uma frequência inicial equivalente a uma certa nota, ao percorrer-se uma sequência (ascendente ou descendente) de quintas, jamais se chega à mesma nota, já que a equação não possui solução para x e y inteiros. Entretanto, é possível chegar bem próximo da mesma nota. A primeira vez que isso ocorre é ao subirem-se 12 quintas e descerem-se 7 oitavas. Chega-se, então, a uma frequência próxima à de partida. O erro ou diferença, nesse caso, é chamado de comma pitagórico = , equivalendo a cerca de 1/4 de um semitom. Essa é a diferença real entre, por exemplo, C e B#. Por esse motivo, 12 é o número de divisões de oitava mais usado.. Se continuarmos percorrendo um ciclo de quintas, chegamos novamente a uma frequência ainda mais próxima da inicial após correr 53 quintas e voltar 31 oitavas. Essa é a segunda ocorrência, proporcionando, agora, um erro ainda bem menor, o comma de Mercator: . A terceira ocorrência seria após 306 quintas. Para todas essas ocorrências, temos não somente um erro cada vez menor como também espectro de subdivisões da oitava aproximadamente equidistante. Todavia, o sistema 53 EDO aqui tratado não é de afinação pitagórica, mas de iguais subdivisões da oitava. Assim como o 12 EDO, ele aproxima o sistema de afinação pitagórica de tal maneira que todos os intervalos sejam equidistantes.
História Desde a antiguidade, já havia interesse técnico na matemática da divisão de uma oitava. Ching Fang (78-37 AC), um músico teórico Chinês, já percebera que uma série de 53 quintas é aproximadamente igual a 31 oitavas. Ele calculara com uma precisão de 6 dígitos de acurácia. Mais tarde, no século XVII, Nicholas Mercator calculou tal valor com precisão como sendo . Hoje, tal intervalo é conhecido como comma de Mercator e equivale a aproximadamente 3,615 cêntimos. O sistema 53 EDO encurta as quintas em 1/53 desse comma ou cerca de 0,0682 cêntimo ou 1/315 comma sintônicos ou 1/355 comma pitagóricos.
Notação
Com o intuito de se usar a notação tradicional, sete notas nomeadas seguidas de sustenido ou bemol podem acabar tornando tudo confuso. Este não é o caso de 19 EDO ou 31 EDO nos quais há pouca ambigüidade. Por não ser mesotônico, acabam aparecendo problemas que requerem certa atenção. Especificamente, a terça maior é diferente de um ditom, cada um do qual é duas quintas menos uma oitava. Da mesma forma, a terça menor é diferente de um semiditom. O facto de que o comma sintônico não é temperado significa que notas e intervalos precisam ser definidos mais precisamente. A música clássica otomana usa uma notação de bemóis e sustenidos para um tom dividido em 9 commas.
Neste artigo, a notação diatônica será usada criando a seguinte escala cromática, na qual sustenidos e bemóis não são enarmônicos, somente E e B são enarmonicamente equivalente a F e C, respectivamente. Para outras notas, bemóis e sustenidos triplos e quádruplos não são enarmônicos.
C, C, C, C, C, D, D, D, D,
D, D, D, D, D, E, E, E, E,
E, E, E/F, F,
F, F, F, F, F, G, G, G, G,
G, G, G, G, G, A, A, A, A,
A, A, A, A, A, B, B, B, B,
B, B, B/C, C, C
Tamanho de intervalos Pelo facto de a distância de 31 passos nesta escala ser quase precisamente igual à quinta justa, em teoria esta escala pode ser considerada uma forma levemente temperada da afinação pitagórica que foi estendida a 53 tons. Como tal, os intervalos disponíveis podem ter as mesmas propriedades de qualquer afinação pitagórica, como quintas que são praticamente puras, terças maiores somente um pouco alargadas: em comparação à pura terça maior , e terças menores que são só um pouco mais curtas ( comparado a ).
Não obstante, o sistema 53-EDO contém intervalos adicionais que estão muito próximos à entonação justa. Por exemplo, o intervalo de 17 passos é igualmente uma terça maior, mas apenas 1,4 cêntimos mais estreito que o intervalo justo . 53-EDO é muito bom como uma aproximação a qualquer intervalo em entonação justa de 5 limites.
Os casamentos de intervalos justos envolvendo o 7º harmônico são levemente menos próximos, mas todos esses tais intervalos ainda são casados, tendo tritom como mais alto desvio. O 11º harmônico e os intervalos envolvendo-o são casados com menor proximidade, como ilustrado na tabela abaixo com as segundas e terças neutras em décima-primeira.
Nome do intervaloSize (passos)Size (cêntimos)Razão justaRazão justa em centsErrooitava5312002:112000sétima harmônica43973.597:4968.83+4.76sexta maior39882.965:3884−1.04quinta perfeita31701.893:2701.96−0.07tritom diatônico26588.6845:32590.22−1.54tritom septimal26588.687:5582.51+6.17classic tritom25566.0425:18568.72−2.68tritom décimo-primeiro24543.4011:8551.32−7.92quinta duplamente diminuta24543.40512:375539.10+4.30quarta aumentada em décima-primeira24543.4015:11536.95+6.45quarta aguda23520.7627:20519.55+1.21quarta perfeita22498.114:3498.04+0.07quarta grave21475.47320:243476.54−1.07quarta estreita em sétima21475.4721:16470.78+4.69terça aumentada clássica20452.83125:96456.99−4.16terça aumentada tridécima20452.8313:10454.21−1.38terça maior em sétima19430.199:7435.08−4.90quarta diminuta clássica19430.1932:25427.37+2.82ditom pitagórico18407.5481:64407.82−0.28terça maior justa17384.915:4386.31−1.40terça maior grave16362.26100:81364.80−2.54terça nêutra, tridécima16362.2616:13359.47+2.79terça nêutra, décima-primeira15339.6211:9347.41−7.79terça menor aguda15339.62243:200337.15+2.47terça menor justa14316.986:5315.64+1.34semiditom13294.3432:27294.13+0.21Segunda aumentada clássica12271.7075:64274.58−2.88terça menor em sétima12271.707:6266.87+4.83terça diminuta clássica11249.06144:125244.97+4.09tom inteiro em sétima10226.418:7231.17−4.76terça diminuta10226.41256:225223.46+2.95tom inteiro, tom maior9203.779:8203.91−0.14tom inteiro, tom menor8181.1310:9182.40−1.27segunda nêutra, décima-primeira alargada7158.4911:10165.00−6.51segunda nêutra, tom inteiro grave7158.49800:729160.90−2.41segunda nêutra, décima primeira estreitada7158.4912:11150.64+7.85segunda nêutra, limma larga6135.8527:25133.24+2.61Semitom pitagórico maior5113.212187:2048113.69−0.48semitom diatônico justo5113.2116:15111.73+1.48limma maior490.57135:12892.18−1.61semitom pitagórico menor490.57256:24390.22+0.34just semitom cromático367.9225:2470.67−2.75diese justa245.28128:12541.06+4.22comma sintônico122.6481:8021.51+1.14
Categoria:Temperamentos iguais