Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo tal que todo elemento do corpo maior é algébrico sobre o corpo menor ; isto é, todo elemento de é raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em .Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453. Uma extensão de campo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
As extensões algébricas do campo dos números racionais são chamados de campos de números algébricos e são os principais objetos de estudo da teoria algébrica dos números. Outro exemplo de extensão algébrica comum é a extensão dos números reais pelos números complexos.
Algumas propriedades Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isto, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas.See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3. A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem infinitas extensões que são algébricas.Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288. Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
Seja um campo de extensão de e . O menor subcampo de que contém e é comumente denotado Se é algébrico sobre , então os elementos de podem ser expressos como polinômios em com coeficientes em K; isto é, também é o menor anel contendo e . Nesse caso, é uma extensão finita de (é um espaço vetorial de dimensão finita) e todos os seus elementos são algébricos sobre .Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280. Essas propriedades não são válidas se não for algébrico. Por exemplo, , e ambos são espaços vetoriais de dimensão infinita sobre Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
Um campo algébrico fechado F não possui extensões algébricas próprias, ou seja, não possui extensões algébricas E com F < E.Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287. Um exemplo é o campo dos números complexos. Todo corpo tem uma extensão algébrica que é algebricamente fechada (chamada de fechamento algébrico), mas provar isso em geral requer alguma forma do axioma da escolha.Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
Uma extensão L/K é algébrica se e somente se toda sub K-álgebra de L é um corpo.
Bibliografia
Categoria:Teoria dos corpos