Na topologia e em áreas relacionadas da matemática, uma propriedade topológica ou invariante topológico é uma propriedade de um espaço topológico que é invariante sob homeomorfismos. Alternativamente, uma propriedade topológica é uma classe própria de espaços topológicos que é fechada sob homeomorfismos. Isto é, uma propriedade de espaços é uma propriedade topológica se, sempre que um espaço possui essa propriedade, todo espaço homeomorfo a também a possui. Informalmente, uma propriedade topológica é uma propriedade do espaço que pode ser expressa usando conjuntos abertos.

Um problema comum na topologia é decidir se dois espaços topológicos são homeomorfos ou não. Para provar que dois espaços não são homeomorfos, é suficiente encontrar uma propriedade topológica que não seja compartilhada por eles.

Propriedades das propriedades topológicas

Uma propriedade é: Hereditária, se para todo espaço topológico e subconjunto , o subespaço tem a propriedade . Fracamente hereditária, se para todo espaço topológico e subconjunto fechado , o subespaço tem a propriedade .

Propriedades topológicas comuns

Funções cardinais

A cardinalidade do espaço . A cardinalidade da topologia (o conjunto de subconjuntos abertos) do espaço . Peso , a menor cardinalidade de uma base da topologia do espaço . Densidade , a menor cardinalidade de um subconjunto de cujo fecho é .

Separação

Alguns destes termos são definidos de forma diferente na literatura matemática mais antiga; veja a história dos axiomas de separação. T0 ou Kolmogorov. Um espaço é Kolmogorov se para cada par de pontos distintos e no espaço, existe pelo menos um conjunto aberto contendo mas não , ou um conjunto aberto contendo mas não . T1 ou Fréchet. Um espaço é Fréchet se para cada par de pontos distintos e no espaço, existe um conjunto aberto contendo mas não . (Compare com T0; aqui, nos é permitido especificar qual ponto estará contido no conjunto aberto.) Equivalentemente, um espaço é T1 se todos os seus conjuntos unitários (singletons) são fechados. Espaços T1 são sempre T0. Sóbrio. Um espaço é sóbrio se todo conjunto fechado irredutível tem um único ponto genérico . Em outras palavras, se não é a união (possivelmente não disjunta) de dois subconjuntos não vazios fechados menores, então existe um tal que o fecho de {} é igual a , e é o único ponto com esta propriedade. T2 ou Hausdorff. Um espaço é Hausdorff se quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Espaços T2 são sempre T1. T2½ ou Urysohn. Um espaço é Urysohn se quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças fechadas disjuntas. Espaços T2½ são sempre T2. Completamente T2 ou completamente Hausdorff. Um espaço é completamente T2 se quaisquer dois pontos distintos são separados por uma função. Todo espaço completamente Hausdorff é Urysohn. Regular. Um espaço é regular se sempre que for um conjunto fechado e for um ponto que não está em , então e têm vizinhanças disjuntas. T3 ou Hausdorff regular. Um espaço é Hausdorff regular se for um espaço T0 regular. (Um espaço regular é Hausdorff se e somente se for T0, portanto a terminologia é consistente.) Completamente regular. Um espaço é completamente regular se sempre que for um conjunto fechado e for um ponto que não está em , então e {} são separados por uma função. T3½, Tychonoff, Hausdorff completamente regular ou Completamente T3. Um Espaço de Tychonoff é um espaço T0 completamente regular. (Um espaço completamente regular é Hausdorff se e somente se for T0, portanto a terminologia é consistente.) Espaços de Tychonoff são sempre Hausdorff regulares. Normal. Um espaço é normal se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos têm vizinhanças disjuntas. Espaços normais admitem partições da unidade. T4 ou Hausdorff normal. Um espaço normal é Hausdorff se e somente se for T1. Espaços Hausdorff normais são sempre de Tychonoff. Completamente normal. Um espaço é completamente normal se quaisquer dois conjuntos separados têm vizinhanças disjuntas. T5 ou Hausdorff completamente normal. Um espaço completamente normal é Hausdorff se e somente se for T1. Espaços Hausdorff completamente normais são sempre Hausdorff normais. Perfeitamente normal. Um espaço é perfeitamente normal se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos são precisamente separados por uma função. Um espaço perfeitamente normal também deve ser completamente normal. T6 ou Hausdorff perfeitamente normal, ou perfeitamente T4. Um espaço é Hausdorff perfeitamente normal, se for simultaneamente perfeitamente normal e T1. Um espaço Hausdorff perfeitamente normal também deve ser Hausdorff completamente normal. Espaço discreto. Um espaço é discreto se todos os seus pontos são completamente isolados, ou seja, se qualquer subconjunto é aberto. Número de pontos isolados. O número de pontos isolados de um espaço topológico.

Condições de enumerabilidade Separável. Um espaço é separável se tem um subconjunto denso enumerável. Primeiro-enumerável. Um espaço é primeiro-enumerável se cada ponto tem uma base local enumerável. Segundo-enumerável. Um espaço é segundo-enumerável se tem uma base enumerável para a sua topologia. Espaços segundo-enumeráveis são sempre separáveis, primeiro-enumeráveis e de Lindelöf. Lindelöf. Um espaço é de Lindelöf se toda cobertura aberta tem uma subcobertura enumerável. σ-compacto. Um espaço é σ-compacto se for a união de uma quantidade enumerável de subespaços compactos.

Conexidade

Conexo. Um espaço é conexo se não for a união de um par de conjuntos abertos não vazios disjuntos. Equivalentemente, um espaço é conexo se os únicos conjuntos abertos e fechados (clopen) são o conjunto vazio e ele próprio. Localmente conexo. Um espaço é localmente conexo se cada ponto tem uma base local consistindo em conjuntos conexos. Totalmente desconexo. Um espaço é totalmente desconexo se não tiver um subconjunto conexo com mais de um ponto. Extremamente desconexo. Um espaço é extremamente desconexo se todo conjunto aberto tem um fecho aberto. Conexo por caminhos. Um espaço é conexo por caminhos se para cada dois pontos , em , existe um caminho de a , ou seja, uma aplicação contínua com e . Espaços conexos por caminhos são sempre conexos. Localmente conexo por caminhos. Um espaço é localmente conexo por caminhos se cada ponto tem uma base local consistindo em conjuntos conexos por caminhos. Um espaço localmente conexo por caminhos é conexo se e somente se for conexo por caminhos. Conexo por arcos. Um espaço é conexo por arcos se para cada dois pontos , em , existe um arco de a , ou seja, um mapeamento contínuo injetivo com e . Espaços conexos por arcos são conexos por caminhos. Simplesmente conexo. Um espaço é simplesmente conexo se for conexo por caminhos e cada aplicação contínua for homotópica a uma aplicação constante. Localmente simplesmente conexo. Um espaço é localmente simplesmente conexo se cada ponto em tem uma base local de vizinhanças que seja simplesmente conexa. Semilocalmente simplesmente conexo. Um espaço é semilocalmente simplesmente conexo se cada ponto tem uma base local de vizinhanças tal que todo laço em seja contrátil em . A conectividade simples semilocal, uma condição estritamente mais fraca que a conectividade simples local, é uma condição necessária para a existência de um revestimento universal. Contrátil. Um espaço é contrátil se a aplicação identidade em for homotópica a uma aplicação constante. Espaços contráteis são sempre simplesmente conexos. Hiperconexo. Um espaço é hiperconexo se não houver dois conjuntos abertos não vazios que sejam disjuntos. Todo espaço hiperconexo é conexo. Ultraconexo. Um espaço é ultraconexo se não houver dois conjuntos fechados não vazios que sejam disjuntos. Todo espaço ultraconexo é conexo por caminhos. Indiscreto ou trivial. Um espaço é indiscreto se os únicos conjuntos abertos forem o conjunto vazio e ele próprio. Diz-se que tal espaço tem a topologia trivial.

Compacidade Compacto. Um espaço é compacto se toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita. Alguns autores chamam esses espaços de quase-compactos e reservam a palavra compacto para os espaços de Hausdorff onde toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita. Espaços compactos são sempre de Lindelöf e paracompactos. Espaços de Hausdorff compactos são, portanto, normais. Sequencialmente compacto. Um espaço é sequencialmente compacto se toda sequência tem uma subsequência convergente. Enumeravelmente compacto. Um espaço é enumeravelmente compacto se toda cobertura aberta enumerável tem uma subcobertura finita. Pseudocompacto. Um espaço é pseudocompacto se toda função contínua com valores reais no espaço for limitada. σ-compacto. Um espaço é σ-compacto se for a união de uma quantidade enumerável de subconjuntos compactos. Lindelöf. Um espaço é de Lindelöf se toda cobertura aberta tem uma subcobertura enumerável. Paracompacto. Um espaço é paracompacto se toda cobertura aberta tem um refinamento aberto localmente finito. Espaços de Hausdorff paracompactos são normais. Localmente compacto. Um espaço é localmente compacto se todo ponto tem uma base local consistindo em vizinhanças compactas. Definições ligeiramente diferentes também são usadas. Espaços de Hausdorff localmente compactos são sempre espaços de Tychonoff. Compacto ultraconexo. Em um espaço compacto ultraconexo , toda cobertura aberta deve conter o próprio . Espaços compactos ultraconexos não vazios têm um maior subconjunto aberto próprio chamado de monólito.

Metrizabilidade Metrizável. Um espaço é metrizável se for homeomorfo a um espaço métrico. Espaços metrizáveis são sempre Hausdorff e paracompactos (e, consequentemente, normais e de Tychonoff), e primeiro-enumeráveis. Além disso, um espaço topológico é dito ser metrizável se existe uma métrica para tal que a topologia induzida pela métrica seja idêntica à topologia . Polonês. Um espaço é chamado de polonês se for metrizável com uma métrica separável e completa. Localmente metrizável. Um espaço é localmente metrizável se cada ponto tem uma vizinhança metrizável.

Diversos Espaço de Baire. Um espaço é um Espaço de Baire se não for magro em si mesmo. Equivalentemente, é um espaço de Baire se a interseção de enumeravelmente muitos conjuntos abertos densos for densa. Espaço porta. Um espaço topológico é um espaço porta (door space) se todo subconjunto for aberto ou fechado (ou ambos). Homogeneidade Topológica. Um espaço é (topologicamente) homogêneo se para cada e em existe um homeomorfismo tal que . Intuitivamente falando, isso significa que o espaço parece o mesmo em todos os pontos. Todos os grupos topológicos são homogêneos. Finitamente gerado ou Alexandrov. Um espaço é de Alexandrov se intersecções arbitrárias de conjuntos abertos em são abertas, ou equivalentemente se uniões arbitrárias de conjuntos fechados são fechadas. Esses são precisamente os membros finitamente gerados da categoria de espaços topológicos e aplicações contínuas. Zero-dimensional. Um espaço é zero-dimensional se tem uma base de conjuntos abertos-fechados (clopen). Esses são precisamente os espaços com uma dimensão indutiva pequena igual a . Quase discreto. Um espaço é quase discreto se todo conjunto aberto for fechado (portanto, clopen). Os espaços quase discretos são precisamente os espaços zero-dimensionais finitamente gerados. Booleano. Um espaço é booleano se for zero-dimensional, compacto e Hausdorff (equivalentemente, totalmente desconexo, compacto e Hausdorff). Esses são precisamente os espaços que são homeomorfos aos espaços de Stone de álgebras booleanas. Torção de Reidemeister -resolúvel. Um espaço é dito ser -resolúvel (respectivamente: quase -resolúvel) se contiver conjuntos densos que são disjuntos aos pares (respectivamente: quase disjuntos sobre o ideal de subconjuntos nunca densos). Se o espaço não é -resolúvel, então é chamado de -irresolúvel.