O raio de Einstein é o raio de um anel de Einstein e é um ângulo característico para lentes gravitacionais em geral, pois as distâncias típicas entre imagens em lentes gravitacionais são da ordem do raio de Einstein.

Derivação Na derivação a seguir do raio de Einstein, assumiremos que toda a massa M do efeito L da galáxia está concentrado no centro da galáxia.

Para uma massa pontual, a deflexão pode ser calculada e é um dos testes clássicos da relatividade geral. Para pequenos ângulos α1, a deflexão total por uma massa pontual M é dada (ver métrica de Schwarzschild) por

onde

b1 é o parâmetro de impacto (a distância da aproximação mais próxima do raio de luz ao centro de massa) Gé a constante gravitacional, e c é a velocidade da luz.

Observando que, para ângulos pequenos e com o ângulo expresso em radianos, o ponto de aproximação mais próximo b1 em um ângulo θ1 para a lente L à distância DL é dada por , podemos re-expressar o ângulo de flexão α1 como

..... (Equação 1)

Se definirmos θS como o ângulo no qual veríamos a fonte sem a lente (que geralmente não é observável), e θ1 como o ângulo observado da imagem da fonte em relação à lente, pode-se ver a partir da geometria da lente (contando as distâncias no plano da fonte) que a distância vertical percorrida pelo ângulo θ1 à distância DS é o mesmo que a soma das duas distâncias verticais e . Isso fornece a equação da lente

que pode ser reorganizado para fornecer

..... (Equação 2)

Definindo (eq. 1) igual a (eq. 2) e reorganizando, obtemos

Para uma fonte logo atrás da lente, , e a equação da lente para um ponto de massa dá um valor característico para θ1 isso é chamado de ângulo de Einstein, denotado θE. Quando θE é expresso em radianos e a fonte de lente está suficientemente distante, o raio de Einstein, denotado RE, é dado por

. https://ned.ipac.caltech.edu/level5/March04/Kochanek2/Kochanek3.html

Colocando e resolvendo θ1 encontramos

O ângulo de Einstein para uma massa pontual fornece uma escala linear conveniente para criar variáveis de lente sem dimensão. Em termos do ângulo de Einstein, a equação da lente para uma massa pontual torna-se

Substituindo as constantes fornece

Nesta última forma, a massa é expressa em massas solares (M☉ e as distâncias em Gigaparsec (Gpc).) O raio de Einstein é mais proeminente para uma lente tipicamente a meio caminho entre a fonte e o observador.

Para um aglomerado denso com massa a uma distância de 1 Gigaparsec (1 Gpc), esse raio pode ser tão grande quanto 100 arcoseg (chamado lente macro). Para um evento de microlente gravitacional (com massas da ordem de 1 M☉), procure a distâncias galácticas (digamos D ~ 3 kpc), o raio típico de Einstein seria da ordem de milissegundos. Consequentemente, é impossível observar imagens separadas em eventos de microlente com as técnicas atuais.

Da mesma forma, para o raio de luz inferior que atinge o observador por baixo da lente, temos

e

e assim

O argumento acima pode ser estendido para lentes que possuem uma massa distribuída, em vez de uma massa pontual, usando uma expressão diferente para o ângulo de curvatura α as posições θI(θS) das imagens pode ser calculada. Para pequenas deflexões, esse mapeamento é individual e consiste em distorções das posições observadas que são invertíveis. Isso é chamado de lente fraca. Para deflexões grandes, pode-se ter várias imagens e um mapeamento não invertível: isso é chamado de lente forte. Observe que, para que uma massa distribuída resulte em um anel de Einstein, ela deve ser axialmente simétrica.

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