Na teoria dos números, o teorema de Lagrange é uma afirmação, que leva o nome de Joseph-Louis Lagrange, sobre a frequência com que um polinômio sobre os inteiros pode ser avaliado como um múltiplo de um primo fixo. Mais precisamente, afirma que se é um número primo e é um polinômio com coeficientes inteiros, então:
todo coeficiente de é divisível por , ou tem no máximo soluções incongruentes
onde é o grau do polinômio . As soluções são "incongruentes" se não diferirem por um múltiplo de . Se o módulo não for primo, então é possível que haja mais de soluções.
Uma prova do teorema de Lagrange
As duas idéias principais são as seguintes. Seja o polinômio obtido de tomando os coeficientes . Agora:
é divisível por se e somente se ; e não tem mais do que raízes.
Mais rigorosamente, começando a observar-se que se e somente se cada coeficiente de é divisível por . Suponha que ; seu grau é, portanto, bem definido. É fácil ver que . Para provar (1), primeiro observe que podemos calcular diretamente, ou seja, conectando (a classe de resíduo de) e executando aritmética em , ou reduzindo . Logo, se e somente se , ou seja, se e somente se for divisível por . Para provar (2), observe que é um corpo, o que é um fato padrão (uma prova rápida é notar que, como é primo, é um domínio integral finito, portanto, é um corpo). Outro fato padrão é que um polinômio diferente de zero sobre um campo tem no máximo tantas raízes quanto seu grau; isso segue do algoritmo de divisão.
Finalmente, observe-se que duas soluções são incongruentes se e somente se . Juntando tudo, o número de soluções incongruentes por (1) é o mesmo que o número de raízes de , que por (2) é no máximo , que é no máximo .
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