Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma. direita|miniaturadaimagem| Um polinômio quadrático com duas raízes reais (cruzamentos do eixo x ) e, portanto, sem raízes complexas . Alguns outros polinômios quadráticos têm seu mínimo acima do eixo x, caso em que não há raízes reais e duas raízes complexas. Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma
na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo , como mostrado à direita.
Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.
O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário
com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).
Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:
com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.
Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x 2, xy, yz, etc.
A forma canônica, outra maneira de expressar a função quadrática , é:
Etimologia O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado .
Terminologia Nomenclatura Correta
Nunca deve-se chamar uma função quadrática de "função do segundo grau". Pois tal nome da origem a seguinte pergunta: "O que é o grau de uma função?", Nada! pois uma função não possui grau, o que possui grau é um polinômio.
Coeficientes Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .
Grau Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.
Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.
Variáveis Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).
O caso de uma variável Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como
onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .
Caso bivariado Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como
onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .
Formas de uma função quadrática univariada Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos: , Search result
é chamado de formulário padrão , é chamada de forma fatorada, onde e são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente. chama-se a forma de vértice, em que e são as coordenadas e do vértice, respectivamente.
O coeficiente é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes e . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores. miniaturadaimagem|350x350px| miniaturadaimagem|375x375px| miniaturadaimagem|375x375px| Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada .
Se , a parábola abre para cima. Se a parábola se abre para baixo.
O coeficiente controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).
Os coeficientes e juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em
Além disso, o coeficiente está associado ao termo de grau 1 na função. Se observarmos, há uma função de 1º grau contida na função quadrática, equivalente a . O coeficiente corresponde ao coeficiente angular dessa função , a qual é sempre tangente de na altura de , isto é, no ponto (0,c). Nesse sentido:
Se , a parábola corta o eixo y positivamente. Se , a parábola corta o eixo y negativamente.
O coeficiente controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo .
Vértice O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão
para dentro
então o vértice, , da parábola na forma padrão é
Se a função quadrática estiver na forma fatorada então
a média das duas raízes, ou seja:
é a coordenada do vértice e, portanto, o vértice é
O vértice também é o ponto máximo se , ou o ponto mínimo se .
A linha vertical:
que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.
Pontos de máximos e mínimos Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :
é uma raíz de if resultando em:
com o valor da função correspondente temos:
então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, , podem ser expressas como
Raízes da função univariada
Raízes exatas As raízes (ou zeros ), e , da função quadrática univariada
são os valores de para os quais .
Quando os coeficientes , e são reais ou complexos, as raízes são
Limite superior na magnitude das raízes O módulo das raízes de um quadrático não pode ser maior que Onde é a proporção áurea Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549. [ importância? ]
A raiz quadrada de uma função quadrática univariada A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .
E se então a equação descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.
E se então a equação descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.
Iteração Para iterar uma função , aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.
Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de , O que significa que a enésima iteração . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .
Por exemplo, para a equação iterativa
uma tem:
Onde
e
Então, por indução,
pode ser obtido, onde pode ser facilmente calculado como:
Finalmente, temos:
como a solução.
Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.
O mapa logístico
com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é
onde o parâmetro de condição inicial É dado por . Para racional , após um número finito de iterações mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos são irracionais e, para irracionais , nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.
A solução do mapa logístico quando r = 2 é
para . Desde a para qualquer valor de diferente do ponto fixo instável 0, o termo vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então vai para o ponto fixo estável
Função quadrática bivariada (duas variáveis) Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma
onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano , que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .
Mínimo/máximo E se a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.
E se a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em Onde:
E se e a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.
E se e a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.
Ver também
Forma quadrática Equação quadrática Representação matricial de seções cônicas Quadric Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos Lista de funções matemáticas
Álgebra 1, Glencoe, Álgebra 2, Saxon,
Ligações externas
Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld. Categoria:Funções polinomiais