Na matemática, em combinatória, a identidade de Li Shanlan (também chamada fórmula da soma de Li Shanlan) é uma identidade combinatórial atribuída ao matemático chinês Li Shanlan. Como Li Shanlan é também conhecido como Li Renshu, esta identidade é também referenciada como identidade de Li Renshu. Esta identidade aparece no terceiro capítulo de Duoji bilei (垛积比类 / 垛積比纇, significando somando séries finitas), um texto matemático de autoria de Li Shanlan publicado em 1867 como parte de suas obras reunidas. O matemático tcheco Josef Kaucky publicou uma prova elementar da identidade juntamente com uma história da mesma em 1964. Kaucky atribuiu a identidade a um certo Li Jen-Shu. A partir do relato da história da identidade, foi verificado que Li Jen-Shu é na verdade Li Shanlan. Estudiosos ocidentais estudavam matemática chinesa por seu valor histórico; mas a atribuição dessa identidade a um matemático chinês do século XIX provocou um repensar sobre o valor matemático dos escritos de matemáticos chineses.
"No Ocidente, Li é mais lembrado por uma fórmula combinatória, conhecida como 'identidade de Li Renshu', que ele deduziu usando apenas métodos matemáticos chineses tradicionais."
A identidade A identidade de Li Shanlan estabelece que
.
Li Shanlan não apresentou a identidade desta forma. Ele a apresentou da maneira tradicional chinesa algorítmica e retórica.
Provas da identidade Li Shanlan não deu uma prova da identidade em Duoji bilei. A primeira prova usando equações diferenciais e polinômios de Legendre, conceitos estrangeiros para Shanlan, foi publicada por Pál Turán em 1936, e a prova apareceu em chinês em um artigo de Jack Yung Chang publicado em 1939. Desde então pelo menos quinze provas diferentes foram apresentadas. A seguinte é uma das provas mais simples.
A prova começa expressando como a identidade de Vandermonde: . Pré-multiplicando ambos os lados por , . Usando a seguinte relação
a relação acima pode ser transformada em . Em seguida a relação
é usada para obter .
Outra aplicação da identidade de Vandermonde produz
e portanto . Como é independente de k, isso pode ser colocado na forma .
Em seguida, o resultado
fornece
.
Definindo p = q e trocando j por k,
.
A identidade de Li segue a partir disso, substituindo n por n + n e fazendo algum rearranjo de termos na expressão resultante: .
Sobre Duoji bilei O termo duoji denota um certo método tradicional chinês de calcular somas de pilhas. A maior parte da matemática desenvolvida na China desde o século XVI está relacionada ao método duoji. Li Shanlan foi um dos maiores expoentes desse método e Duoji bilei é uma exposição de seu trabalho relacionado a esse método. Duoji bilei consiste em quatro capítulos: o Capítulo 1 lida com pilhas triangulares, o Capítulo 2 com séries de potências finitas, o Capítulo 3 com pilhas triangulares auto-multiplicáveis e o Capítulo 4 com pilhas triangulares modificadas.
Categoria:Combinatória Categoria:Ciência e tecnologia na China