Uma linha isotrópica também é chamada de linha mínima, pois seu elemento de comprimento é zero, ou linha nula é uma linha para a qual a forma quadrática aplicada ao vetor de deslocamento entre qualquer par de seus pontos é zero. Uma linha isotrópica ocorre apenas com uma forma quadrática isotrópica, e nunca com uma forma quadrática definida.
Abordagem de Laguerre Usando geometria complexa, Edmond Laguerre sugeriu pela primeira vez a existência de duas linhas isotrópicas através do ponto (α, β) que dependem da unidade imaginária :Edmond Laguerre (1870) "Sur l’emploi des imaginaires en la géométrie", Oeuvres de Laguerre 2: 89
Primeiro sistema: Segundo sistema:
Laguerre então interpretou essas linhas como geodésicas:
Uma propriedade essencial das linhas isotrópicas, e que pode ser usada para defini-las, é a seguinte: a distância entre quaisquer dois pontos de uma linha isotrópica situada a uma distância finita no plano é zero. Em outros termos, essas linhas satisfazem a equação diferencial . Em uma superfície arbitrária, pode-se estudar curvas que satisfaçam esta equação diferencial; essas curvas são as linhas geodésicas da superfície, e também as chamamos de linhas isotrópicas.
No plano projetivo complexo, os pontos são representados por coordenadas homogêneas e linhas por coordenadas homogêneas . Uma linha isotrópica no plano projetivo complexo satisfaz a equação:C. E. Springer (1964) Geometry and Analysis of Projective Spaces, page 141, W. H. Freeman and Company
Em termos de subespaço afim , uma linha isotrópica através da origem é
Na geometria projetiva, as linhas isotrópicas são aquelas que passam pelos pontos circulares no infinito.
Na geometria ortogonal real de Emil Artin, as linhas isotrópicas ocorrem em pares:
Um plano não singular que contém um vetor isotrópico deve ser chamado de plano hiperbólico. Ele sempre pode ser abrangido por um par N, M de vetores que satisfazem
Chamaremos qualquer par ordenado N, M de par hiperbólico. Se V for um plano não singular com geometria ortogonal e N ≠ 0 é um vetor isotrópico de V, então existe precisamente um M em V tal que N, M é um par hiperbólico. Os vetores x N and y M são então os únicos vetores isotrópicos de V.Emil Artin (1957) Geometric Algebra, page 119
Relatividade
Linhas isotrópicas têm sido usadas na escrita cosmológica para transportar luz. Por exemplo, em uma enciclopédia matemática, a luz consiste em fótons: "A linha de mundo de uma massa de repouso zero (como um modelo não quântico de um fóton e outras partículas elementares de massa zero) é uma linha isotrópica." Para linhas isotrópicas através da origem, um ponto particular é um vetor nulo , e a coleção de todas essas linhas isotrópicas forma o cone de luz na origem. Élie Cartan expandiu o conceito de linhas isotrópicas para multivetores em seu livro sobre espinores em três dimensões.
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