Um operador de Fredholm é, por definição, um operador linear limitado entre espaços de Banach e tal que as dimensões de seu kernel e de seu cokernel são ambas finitas. Alguns autores incluem a hipótese de que sua imagem é fechada, porém, tal hipótese é redundante.D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
O conjunto de todos os operadores de Fredholm é denotado por .
Cokernel O cokernel de uma transformação linear entre espaços vetoriais e é o espaço quociente .
Índice de um operador de Fredholm Dados dois espaços de Banach e , a função índice é definida como
Propriedades Os operadores de Fredholm são precisamente aqueles que são invertíveis módulo operadores compactos. Isso é conhecido como Teorema de Atkinson.Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
Formalmente, dados e espaços de Hilbert. Um operador linear limitado é um operador de Fredholm se, e somente se, existe um operador linear limitado tal que
são operadores compactos em e , respectivamente.
Sobre a composição de operadores de Fredholm, temos que dados e operadores de Fredholm, a composta também é um operador de Fredholm e vale que
.BLEECKER, D and BAVNBEK, B. Index Theory with Applications to Mathematics and Physics. International Press of Boston (2013)
Aplicações O Teorema de Atiyah-Jänich,MUKHERJEE, Amiya. Atiyah-Singer Index Theorem: An Introduction. lndia: Hindustan Book Agency, 2013. relacionado com a K-teoria.
Qualquer operador elíptico pode ser estendido para um operador de Fredholm.
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