São vários os tipos de somas que podem contribuir para a definição da integral de Riemann de uma função real de variável real, definida num intervalo fechado . Todas elas se baseiam no conceito de partição ou decomposição de . Para a sua descriçáo poderemos seguir a maioria dos livros de Análise Matemática, tais como Elon Lages de Lima ou Jaime Campos Ferreira.

Partições de um intervalo Por partição de entende-se qualquer conjunto finito e ordenado em que e , onde portanto, são elementos distintos do intervalo aberto . Cada intervalo é chamado de subintervalo determinado pela partição O valor será dito diâmetro da partição

Exemplo 1 constitui uma partição do intervalo cujo diâmetro é .

Exemplo 2 Com é a partição do intervalo em subintervalos todos de comprimento igual a , pelo que

Por designaremos o conjunto de todas as partições do intervalo .

Somas de Riemann Reportam-se estas somas a uma dada função . Mas, em primeiro lugar, precisaremos seguindo que um dado subconjunto seleção, de , se encontra bem associado a uma dada partição de , se e só se tiver um e um só elemento em cada um dos subintervalos em que decompõe o intervalo . Por indicaremos o conjunto formado por todos os subconjuntos seleção de que têm a propriedade de estarem bem associados à partição .

Esta situação é resumida por alguns autores sob a designação de que o par constitui uma partição pontilhada.

Deste modo, relativamente ao intervalo , dada uma partição e um conjunto seleção, , chamaremos soma de Riemann da função relativamente a e a ao valor real dado por

(onde, em suma, e para .

Posto isto, diremos que a função é integrável à Riemann no intervalo se existir um valor para o qual se tenha

com o sentido seguinte:

Para cada existe um tal que sempre que com de diâmetro e qualquer seleção, , se tem

É claro que o valor , a existir, é único. Na verdade, seria absurdo pensar que os mesmos valores , quando , pudessem aproximar-se do mesmo modo de dois valores distintos. O valor toma o nome de integral de em e será designado por

Exemplo 3 Seja uma função constante no intervalo aberto , isto é, qualquer que seja . Mostremos que independentemente dos valores que toma em e em , é integrável em com

Na verdade, com e quaisquer, temos para cada conjunto bem associado a que não contenha nem nem . Por outro lado, é fácil de observar que se contém ou então

.

Como tal se , também . Se for então para arbitrário, com obtém-se verificada a correspondente condição .

Limitação Na definição das somas de Riemann parece não existir grande exigência,no que respeita a características especificas que a função deva verificar em . Porém, a condição de integrabilidade é mais restritiva do que aparenta. Na verdade, a integrabilidade à Riemann não é, como veremos, uma questão elementar. A título de exemplo comecemos por observar que implica necessariamente a limitação da função no intervalo (ver [p. 557]). Este facto não é, tanto quanto sabemos, muito vulgarmente demonstrado na literatura matemática mas é um indício das dificuldades que se podem deparar na utilização da integral de Riemann. Importa-nos, contudo, salientá-lo no teorema seguinte, do qual por uma questão de completação, daremos uma demonstração diferente da descrita em.

Teorema 1 (da Limitação) Se é uma função integrável à Riemann então é limitada em .

Demonstração

Suponhamos por absurdo que é ilimitada. Deste modo, perante a integrabilidade de em , facilmente se percebe que dado arbitrário, existe um e com diâmetro tal que, para qualquer , a condição é satisfeita, e é ilimitada em pelo menos um um dos subintervalos determinados pela partição Sem perda de generalidade, apenas para maior facilidade de exposição, suponhamos ser um desses subintervalos. Então sejam e , isto é, com e para , quaisquer. Temos então que

donde se conclui, fixando , que

qualquer que seja o que é contraditório com o facto de ser ilimitada em , ficando assim a demonstração terminada.

A integral de Riemann fica por conseguinte circunscrita às funções que são limitadas.

Somas de Darboux Neste contexto, poder-se-á então supor que é uma função limitada, para a qual existem valores tais que qualquer que seja Os valores e podrão ser determinados por

e

A formulação da integral de Riemann publicada por Jean-Gaston Darboux em 1875 nos Annales de l'École normale Superieur de Paris é obtida como resultado das integrais inferior e superior (de Darboux). Estas integrais são formuladas com base nas chamadas somas de Darboux, constituídas a partir de uma dada partição de . A soma inferior de Darboux é definida por

, onde

e a soma superior de Darboux é dada por

, onde .

Destas somas destacamos as seguintes propriedades elementares.

Propriedades elementares das somas de Darboux

Para qualquer partição tem-se .

Se são duas partições tais que (caso em que se diz uma partição mais fina que ou um refinamento da partição ) então e .

A primeira propriedade é óbvia a partir da definição das somas inferior e superior de Darboux e das desigualdades qualquer que seja Quanto à segunda, em e a demonstração é ilustrada para o caso em que contém apenas mais um ponto do que .

A partir destas propriedades, dadas duas partições quaisquer do intervalo , resultam imediatamente as seguintes relações Estas desigualdades esclarecem totalmente a estrutura destas somas, pondo em evidência que as somas inferiores não se misturam com as somas superiores. Antes pelo contrário, geometricamente elas ocupam espaços opostos da reta real. Melhor dizendo, definindo a chamada de integral inferior de em através de

,

temos que para qualquer se tem

.

Assim, definindo a integral superior de em como

,

obtemos que

,

sendo válido o seguinte teorema.

Teorema 2 Uma função limitada é integrável à Riemann se e só se

.

A demonstração deste teorema, ou seja a prova da equivalência entre as condições e pode ser vista quer em [p. 265], quer em [p. 558]. É claro que em tal situação

Ilustremos a formulação de Darboux do integral de Riemann com o exemplo clássico de função não integrável: a função de Dirichlet.

Exemplo 4 Seja dada por:

Para qualquer partição , na formulação das respetivas somas de Darboux tem-se para cada , e , ou seja e Logo pelo que não é integrável.

Como consequências das propriedades das somas de Darboux acima apontadas podemos registar as seguintes relações elementares das integrais inferior e superior.

Algumas propriedades das integrais inferior e superior Continuemos a considerar uma função limitada.

Os valores e pertencem ao intervalo .

Existem tais que Se for contínua em tem-se que existem tais que e .

Para qualquer

A propriedade resulta imediatamente da propriedade das somas de Darboux. A primeira parte de é apenas uma outra versão escrita de . A segunda parte da mesma propriedade é consequência imediata do teorema de Bolzano.

Quanto a analisemos apenas, por exemplo, a primeira igualdade, podendo para a segunda proceder-se por analogia. Temos então, utilizando conhecidas propriedades algébricas do supremo

em virtude de  constituir uma partição do intervalo contendo c, e de, inversamente, cada partição de que contenha o ponto c, poder ser decomposta como união de uma partição,  de , com uma partição  de . Por outro lado, relativamente à última igualdade tenha-se em conta a propriedade das somas de Darboux, segundo a qual para cada se tem

Integrais indefinidas inferior e superior Também de modo simples se podem obter propriedades relevantes das chamadas integrais indefinidas de em , ou seja, das funções de domínio dadas por:

.

Seja tal que . Então e são -Lipschitzianas, isto é, para quaisquer, tem-se e . Se é contínua em então e são diferenciáveis em e para cada .

Vejamos, por exemplo, da propriedade a desigualdade relativa à função (para será análogo) supondo, sem perda de generalidade, que . Por , facilmente se observa que . Ora, pela propriedade e pelas características da constante , temos

ou seja, . Logo é -Lipschitziana.

Quanto a , mostremos que é diferenciável (para será análogo). Sem perda de generalidade, tomando valores de , obtemos por e que

onde é um valor entre e . Então fazendo , atendendo à continuidade de, obtemos no limite . Logo é diferenciável e .

Uma análise mais detalhada das propriedades destas integrais inferior e superior pode ser vista no livro de Sterling K. Berberian [Cap. 9].

Como resultante destas propriedades podemos obter um importante exemplo de funções integráveis: o da classe das funções contínuas. De notar que se for contínua então pelo teorema de Weierstrass ela possui mínimo e máximo absolutos, sendo por conseguinte limitada. Pelas mesmas razões, em tal situação, as somas de Darboux são somas de Riemann.

Exemplo 5 Qualquer função que seja contínua em é integrável.

A demonstração que daremos a seguir difere daquela baseada na continuidade uniforme de , que é a mais comum que se encontra na literatura. Façamos notar que se é contínua em , a propriedade nos indica que os integrais indefinidos e são duas primitivas de em . Como tal, elas diferem entre si de uma constante. Quer dizer, existe tal que para qualquer . Mas como resulta que também e, por conseguinte, para cada . Em particular, , ou seja, , donde se conclui que é integrável em .

Assim, perante a continuidade de em , as integrais indefinidos e são uma só função, nomeadamente: . Consequentemente podemos concluir o seguinte importante teorema conhecido por teorema fundamental do Cálculo ou da Análise Matemática.

Teorema 3 (Fundamental do Cálculo) Seja uma função contínua, então a função dada por

é diferenciável em e para cada .

Funções integráveis à Riemann Entre uma função integrável por ser contínua em e a função não integrável de Dirichlet do Exemplo 4 que, como facilmente se observa, é descontínua em todos os pontos de , dada uma função limitada em como saber se ela é uma função integrável?

Vários autores se preocuparam com esta questão mas a sua investigação apenas deu aso a condições de carácter analítico como a seguinte comummente conhecida por condição de Riemann.

Teorema 4 (Condição de Cauchy) Uma função limitada é integrável à Riemann se e só se

Para cada existe tal que .

Para provar este teorema comecemos por observar que pelas propriedades algébricas dos ínfimos e dos supremos se tem

Deste modo, se é integrável então para cada existem tais que . Assim, tomando , pela propriedade das somas de Darboux, teremos igualmente,

Reciprocamente, se para cada existir tal que então também , para quaisquer que contenham

Uma aplicação deste teorema é ilustrada no seguinte exemplo.

Exemplo 6 (Funções monótonas) Seja uma função monótona no intervalo Então é integrável em

Supondo, por exemplo, que é crescente em (no caso decrescente, basta ter em conta que é crescente), temos que é limitada, pois para cada . Do mesmo modo, relativamente a uma qualquer partição de . a diferença de somas de Darboux . Ora, como temos que . Então para cada , se a partição for tal que obtemos . Logo a condição do Teorema 4 é satisfeita e por conseguinte, é integrável em

Teorema de Lebesgue Um quadro qualitativo da integrabilidade de uma função apenas surge em 1902 pela mão de Henri Lebesgue na sua tese doutoral "Intégrale, Longuer et Aire", apresentada na Faculdade de Ciências de Paris, com base no conceito de conjunto de medida nula de acordo com a seguinte definição (ver [p. 273] ou [p.532]): Um conjunto diz-se de medida nula à (Lebesgue) se para cada existir uma sucessão de intervalos abertos , tais que onde por se entende a amplitude de Recordemos como propriedades destes conjuntos que:

Subconjunto de um conjunto de medida nula é também de medida nula.

União contável de conjuntos de medida nula é um conjunto de medida nula. Qualquer conjunto contável é de medida nula.

Teorema 5 (de Lebesgue)