miniaturadaimagem|David Hilbert O paradoxo do Hotel de Hilbert é um experimento mental matemático que ilustra uma propriedade contraintuitiva dos conjuntos infinitos. Ele mostra como um hotel com infinitos quartos, todos ocupados, ainda sim pode receber mais pessoas, e até mais infinitas pessoas, e esse processo de receber mais pessoas ainda pode ser repetido muitas vezes. Essa ideia foi apresentada pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) em uma palestra chamada de "Über das Unendliche" e foi popularizada por um livro de George Gamow de 1947, chamado One, Two, Three... Infinity.
O paradoxo do Hotel de Hilbert Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados - isto é, todos os quartos contêm um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos, então, se movermos o hóspede do quarto para o quarto , o hóspede do quarto para o quarto e assim por diante (simultaneamente), sempre movendo o hóspede do quarto para o quarto , podemos acomodar o novo hóspede no quarto , que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto para o quarto , o hóspede do quarto para o quarto , e, em geral, do quarto para o quarto , assim, todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.
Infinitos ônibus É também possível hospedar nesse hotel um número infinito (contável) de ônibus, cada um contendo um número infinito (contável) de passageiros. A possibilidade de fazer isso depende se os assentos do ônibus já estão numerados (alternativamente, o dono do hotel deve ter o axioma da escolha à sua disposição). Primeiro esvazie os quartos ímpares como acima, então coloque os passageiros do primeiro ônibus nos quartos para , os passageiros do segundo ônibus serão colocados nos quartos para e assim por diante; para o ônibus de número usamos os quartos de número onde é o -ésimo número primo.
Isso dá um resultado importante e não intuitivo; a situação "todo quarto está ocupado" e "nenhum novo hóspede pode ser acomodado" não são equivalentes quando existe um número infinito de quartos.
Alguns acham este fato bastante contra-intuitivo. As propriedade de "coleções de coisas" infinitas são bastante diferentes daquelas das "coleções de coisas" finitas. Em um hotel comum (com um número finito de quartos), o número de quartos com numeração ímpar é claramente menor que o número total de quartos (desde que haja mais de um quarto). Entretanto, no Hotel de Hilbert, a quantidade de quartos com numeração ímpar é igual ao número total de quartos. Em termos matemáticos, a cardinalidade do subconjunto contendo apenas os quartos com numeração ímpar é a mesma do conjunto contendo todos os quartos. De fato, conjuntos infinitos podem ser caracterizados como sendo aqueles que possuem um subconjunto próprio da mesma cardinalidade. Para infinitos contáveis, esta cardinalidade é denominada (Aleph zero).
Em outras palavras, para qualquer conjunto infinito contável, existe uma bijeção que mapeia o conjunto infinito no conjunto dos números naturais, mesmo se o conjunto infinito contém (e é distinto) do conjunto dos naturais.
Ligações externas Vídeo do Projeto Matemática Multimídia explanando sobre o paradoxo do Hotel de Hilbert Sinopse do trecho do livro "Em Guarda", de William Lane Craig, onde o autor detalha o paradoxo do Hotel de Hilbert, objetivando utilizá-lo em uma espécie de amálgama para expor que o universo teve um início, ou seja, não existe desde a eternidade, pois, o infinito é indivisível e o universo existe dentro do espaço e do tempo que são finitos.
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