O problema de dois corpos em relatividade geral (ou problema relativístico de dois corpos) é a determinação do movimento e campo gravitacional de dois corpos, conforme descrito pelas equações de campo da relatividade geral. Resolver o problema de Kepler é essencial para calcular a curvatura da luz pela gravidade e o movimento de um planeta orbitando seu sol. Soluções também são usadas para descrever o movimento de estrelas binárias em torno umas das outras e estimar sua perda gradual de energia por meio de radiação gravitacional.
A relatividade geral descreve o campo gravitacional por meio do espaço-tempo curvo; o equações de campo governando esta curvatura são não lineares e portanto, difícil de resolver em uma forma fechada. Nenhuma solução exata para o problema de Kepler foi encontrada, mas uma solução aproximada foi encontrada: a solução de Schwarzschild. Esta solução aplica-se quando a massa M de um corpo é esmagadoramente maior que a massa m do outro. Nesse caso, a massa maior pode ser considerada estacionária e a única contribuinte para o campo gravitacional. Esta é uma boa aproximação para um fóton passando por uma estrela e para um planeta orbitando seu sol. O movimento do corpo mais leve (chamada de "partícula" abaixo) pode então ser determinado a partir da solução de Schwarzschild; o movimento é uma geodésica ("caminho mais curto entre dois pontos") no espaço-tempo curvo. Tais soluções geodésicas são responsáveis pela precessão anômala do planeta Mercúrio, que é uma evidência chave que apoia a teoria da relatividade geral. Eles também descrevem a curvatura da luz num campo gravitacional, outra previsão famosa usada como evidência para a relatividade geral.
Se considerarmos que ambas as massas contribuem para o campo gravitacional, como nas estrelas binárias, o problema de Kepler só pode ser resolvido aproximadamente. O primeiro método de aproximação a ser desenvolvido foi a Expansão pós-Newtoniana, um método iterativo no qual uma solução inicial é corrigida gradualmente. Mais recentemente, tornou-se possível resolver a equação de campo de Einstein usando um computador em vez de fórmulas matemáticas. À medida que os dois corpos orbitam um ao outro, eles emitirão radiação gravitacional; isso faz com que percam energia e momento angular gradualmente, conforme ilustrado pelo pulsar binário PSR B1913+16.
Para buracos negros binários, a solução numérica do problema dos dois corpos foi alcançada após quatro décadas de pesquisa em 2005, quando três grupos desenvolveram técnicas inovadoras.
Contexto histórico
Problema de Kepler clássico
thumb|right|Figura 1. Caminho elíptico típico de uma massa menor m orbitando uma massa muito maior M. A massa maior também se move numa órbita elíptica, mas é demasiado pequena para ser vista porque M é muito maior que m. As extremidades do diâmetro indicam os apsides, os pontos de maior e mais próxima distância.
O problema Kepler deriva seu nome de Johannes Kepler, que trabalhou como assistente do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe. Brahe fez medições extraordinariamente precisas do movimento dos planetas do Sistema Solar. A partir dessas medidas, Kepler foi capaz de formular as leis de Kepler, a primeira descrição moderna do movimento planetário:
A órbita de cada planeta é uma elipse com o Sol em um dos dois focos. Uma reta que une um planeta e o Sol varre áreas iguais durante intervalos de tempo iguais. O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior de sua órbita.
Kepler publicou as duas primeiras leis em 1609 e a terceira lei em 1619. Elas suplantaram modelos do Sistema Solar anteriores, tais como aqueles de Ptolemeu e Copérnico. As leis de Kepler aplicam-se apenas no caso limitado do problema dos dois corpos. Voltaire e Émilie du Châtelet foram os primeiros a chamá-los "leis de Kepler".
Quase um século depois, Isaac Newton havia formulado suas três leis do movimento. Em particular, a segunda lei de Newton afirma que uma força F aplicado a uma massa m produz uma aceleração a dada pela equação F=ma. Newton então colocou a questão: qual deve ser a força que produz as órbitas elípticas vistas por Kepler? Sua resposta veio em sua lei da gravitação universal, a qual afirma que a força entre uma massa M e outra massa m é dada pela fórmula
onde r é a distância entre as massas e G é a constante gravitacional. Dada esta lei de força e suas equações de movimento, Newton foi capaz de mostrar que duas massas pontuais que se atraíam seguiriam, cada uma, órbitas perfeitamente elípticas. A proporção dos tamanhos dessas elipses é m/M, com a massa maior movendo-se em uma elipse menor. Se M e muito maior que m, então a massa maior parecerá estacionária no foco da órbita elíptica da massa mais leve m. Este modelo pode ser aplicado aproximadamente ao Sistema Solar. Como a massa do Sol é muito maior que a dos planetas, a força que atua em cada planeta se deve principalmente ao Sol; a gravidade dos planetas entre si pode ser desprezada na primeira aproximação.
Precessão absidal
thumb|right|upright=1.5|Na ausência de quaisquer outras forças, uma partícula orbitando outra sob a influência da gravidade newtoniana segue a mesma elipse perfeita eternamente. A presença de outras forças (como a gravitação de outros planetas) faz com que esta elipse gire gradualmente. A taxa desta rotação (chamada precessão orbital) pode ser medida com muita precisão. A taxa também pode ser prevista conhecendo as magnitudes e direções das outras forças. No entanto, as previsões da gravidade newtoniana não correspondem às observações, conforme descoberto em 1859 a partir de observações de Mercúrio.
Se a energia potencial entre os dois corpos não for exatamente a 1/r potencial da lei gravitacional de Newton, mas difere apenas ligeiramente, então a elipse da órbita gira gradualmente (entre outros efeitos possíveis). Esta precessão apsidal é observada para todos os planetas que orbitam o Sol, principalmente devido ao achatamento do Sol (não é perfeitamente esférico) e às atrações dos outros planetas entre si. As absides são os dois pontos mais próximos e mais distantes da órbita (o periapsis e a apoapsis, respectivamente); a precessão absidal corresponde à rotação da linha que une as absides. Também corresponde à rotação do vetor de Laplace-Runge-Lenz, que aponta ao longo da linha de absides.
A lei da gravitação de Newton logo foi aceita porque fornecia previsões muito precisas do movimento de todos os planetas. Esses cálculos foram realizados inicialmente por Pierre-Simon Laplace no final do século XVIII, e refinado por Félix Tisserand no final do século XIX. Por outro lado, se a lei da gravitação de Newton “não” previsse com precisão as precessões absidais dos planetas, ela teria que ser descartada como uma teoria da gravitação. Tal precessão anômala foi observada na segunda metade do século XIX.
Precessão anômala de Mercúrio
Em 1859, Urbain Le Verrier descobriu que a precessão orbital do planeta Mercúrio não era bem o que deveria ser; a elipse de sua órbita estava girando (precessando) um pouco mais rápido do que o previsto pela teoria tradicional da gravidade newtoniana, mesmo depois de todos os efeitos dos outros planetas terem sido contabilizados. O efeito é pequeno (cerca de 43 arco-segundos de rotação por século), mas bem acima do erro de medição (cerca de 0,1 arco-segundos por século). Le Verrier percebeu imediatamente a importância da sua descoberta e desafiou tanto os astrónomos como os físicos a explicarem-na. Várias explicações clássicas foram propostas, como poeira interplanetária, achatamento não observado do Sol, uma lua não detectada de Mercúrio ou um novo planeta chamado Vulcano. Depois que essas explicações foram descartadas, alguns físicos foram levados à hipótese mais radical de que a lei do inverso do quadrado de Newton da gravitação estava incorreta. Por exemplo, alguns físicos propuseram uma lei de potência com um expoente ligeiramente diferente de 2.
Outros argumentaram que a lei de Newton deveria ser complementada com um potencial dependente da velocidade. No entanto, isso implicou um conflito com a dinâmica celeste newtoniana. Em seu tratado sobre mecânica celeste, Laplace mostrou que se a influência gravitacional não agir instantaneamente, então os movimentos dos próprios planetas não conservarão exatamente o momento (e, conseqüentemente, parte do momento teria que ser atribuído ao mediador da interação gravitacional, análogo a atribuir momento ao mediador da interação eletromagnética.) Como visto do ponto de vista newtoniano, se a influência gravitacional se propaga a uma velocidade finita, então em todos os momentos um planeta é atraído por um ponto onde o Sol estava algum tempo antes, e não em direção à posição instantânea do Sol. Partindo do pressuposto dos fundamentos clássicos, Laplace mostrou que se a gravidade se propagasse a uma velocidade da ordem da velocidade da luz, então o sistema solar seria instável e não existiria por muito tempo. A observação de que o sistema solar tem idade suficiente permitiu-lhe estabelecer um limite inferior na velocidade da gravidade, que acabou por ser muitas ordens de magnitude mais rápida que a velocidade da luz.
A estimativa de Laplace para a velocidade da gravidade não está correta numa teoria de campo que respeita o princípio da relatividade. Como os campos eléctrico e magnético se combinam, a atracção de uma carga pontual que se move a uma velocidade constante é para a posição instantânea extrapolada, e não para a posição aparente que parece ocupar quando observada.Feynman Lectures on Physics vol. II dá um tratamento completo do problema análogo no eletromagnetismo. Feynman mostra que para uma carga em movimento, o campo não radiativo é uma atração/repulsão não em direção à posição aparente da partícula, mas em direção à posição extrapolada, assumindo que a partícula continua em linha reta com velocidade constante. Esta é uma propriedade notável dos potenciais de Liénard-Wiechert, os quais são usado na teoria do absorvedor de Wheeler e Feynman. Presumivelmente, o mesmo vale para a gravidade linearizada: e.g., ver Gravitomagnetismo. Para evitar esses problemas, entre 1870 e 1900 muitos cientistas usaram as leis eletrodinâmicas de Wilhelm Eduard Weber, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann para produzir órbitas estáveis e para explicar a mudança do periélio da órbita de Mercúrio. Em 1890, Maurice Lévy conseguiu fazê-lo combinando as leis de Weber e Riemann, pelo qual a velocidade da gravidade é igual à velocidade da luz nesta teoria. E em outra tentativa Paul Gerber (1898) até conseguiu derivar a fórmula correta para a mudança do periélio (que era idêntica à fórmula usada mais tarde por Einstein). No entanto, porque as leis básicas de Weber e outros estavam erradas (por exemplo, a lei de Weber foi substituída pela teoria de Maxwell), essas hipóteses foram rejeitadas. Outra tentativa de Hendrik Lorentz (1900), que usou a teoria de Maxwell, produziu um deslocamento do periélio que era muito baixo.
Teoria da relatividade geral de Einstein
thumb|right|A medições de Eddington em 1919 da curvatura da luz das estrelas pela gravidade do Sol levaram à aceitação da relatividade geral mundialmente.