Os Elementos ( ) é um tratado matemático escrito pelo matemático grego antigo Euclides.

Os Elementos é o mais antigo tratamento dedutivo de grande escala da matemática ainda existente. Baseando-se nos trabalhos de matemáticos anteriores como Hipócrates de Quios, Eudoxo de Cnido e Teeteto, os Elementos é uma coleção em 13 livros de definições, postulados, construções geométricas e teoremas com suas provas que abrange geometria euclidiana plana e espacial, teoria dos números elementar e incomensurabilidade. Estes incluem o teorema de Pitágoras, o teorema de Tales, o algoritmo de Euclides para máximos divisores comuns, o teorema de Euclides de que existem infinitos números primos e a construção de polígonos regulares e poliedros regulares.

Frequentemente referido como o livro didático mais bem-sucedido já escrito, os Elementos continuou a ser usado para o ensino introdutório de geometria. Foi traduzido para o árabe e o latim no período medieval, onde exerceu uma grande influência na matemática no mundo islâmico medieval e na Europa Ocidental, e provou ser fundamental no desenvolvimento da lógica e da ciência moderna, onde seu rigor lógico não foi superado até o século XIX.

Antecedentes Os Elementos de Euclides é o mais antigo tratamento dedutivo de grande escala da matemática ainda existente. Proclo, um matemático grego que viveu cerca de sete séculos depois de Euclides, escreveu em seu comentário sobre os Elementos: "Euclides, que reuniu os Elementos, coletando muitos dos teoremas de Eudoxo, aperfeiçoando muitos dos de Teeteto, e também trazendo a demonstrações irrefutáveis as coisas que foram apenas frouxamente provadas por seus predecessores". Estudiosos acreditam que os Elementos é em grande parte uma compilação de proposições baseadas em livros de matemáticos gregos anteriores, incluindo Eudoxo, Hipócrates de Quios, Tales e Teeteto, enquanto outros teoremas são mencionados por Platão e Aristóteles. É difícil diferenciar o trabalho de Euclides do de seus predecessores, especialmente porque os Elementos essencialmente substituíram grande parte da matemática grega anterior e agora perdida. A versão dos Elementos disponível hoje também inclui matemática "pós-euclidiana", provavelmente adicionada mais tarde por editores posteriores como o matemático Téon de Alexandria no século IV. O classicista Markus Asper conclui que "aparentemente, a realização de Euclides consiste em reunir conhecimento matemático aceito em uma ordem coerente e adicionar novas provas para preencher as lacunas" e a historiadora Serafina Cuomo o descreveu como um "reservatório de resultados". Apesar disso, o historiador Michalis Sialaros opina que sua "estrutura notavelmente rígida" sugere que o próprio Euclides escreveu os Elementos em vez de meramente editar os trabalhos de outros.

A atribuição detalhada de partes dos Elementos a matemáticos específicos ainda é objeto de debate acadêmico. De acordo com W. W. Rouse Ball, Pitágoras foi provavelmente a fonte para a maior parte dos livros I e II, Hipócrates de Quios para o livro III, e Eudoxo de Cnido para o livro V, enquanto os livros IV, VI, XI e XII provavelmente vieram de outros matemáticos pitagóricos ou atenienses. Os Elementos podem ter sido baseados em um livro-texto anterior de Hipócrates de Quios, que também pode ter originado o uso de letras para se referir a figuras. Wilbur Knorr atribui a origem do material nos Livros I, III e VI dos Elementos à época de Hipócrates de Quios, e do material nos livros II, IV, X e XIII ao período posterior de Teodoro de Cirene, Teeteto e Eudoxo. No entanto, esta história sugerida foi criticada por van der Waerden, que acreditava que os livros I a IV eram em grande parte devidos à escola pitagórica muito anterior.Review of The Evolution of the Euclidean Elements por Bartel Leendert van der Waerden (1976), Historia Mathematica 3 (4): 497–499, .

Outros trabalhos semelhantes também foram relatados como tendo sido escritos por Hipócrates de Quios, Teudio de Magnésia e Leão, mas estão agora perdidos.

Conteúdos +Conteúdos Resumidos dos Elementos de Euclides (edição de Heath)LivroIIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXXIXIIXIIITotaisDefinições23211718422––1628––131Postulados5––––––––––––5Noções Comuns5––––––––––––5Proposições481437162533392736115391818465 Os Elementos não discute exclusivamente geometria como às vezes se acredita. É tradicionalmente dividido em três tópicos: geometria plana (livros I–VI), teoria dos números básica (livros VII–X) e geometria espacial (livros XI–XIII)—embora o livro V (sobre proporções) e X (sobre incomensurabilidade) não se encaixem exatamente neste esquema. O coração do texto são os teoremas espalhados por toda a obra. Usando a terminologia de Aristóteles, estes podem ser geralmente separados em duas categorias: "primeiros princípios" e "segundos princípios". O primeiro grupo inclui declarações rotuladas como uma "definição" ( ou ), "postulado" (), ou uma "noção comum" (). Os postulados (isto é, axiomas) e noções comuns ocorrem apenas no livro I. Um estudo aprofundado de Proclo sugere que versões mais antigas dos Elementos podem ter seguido as mesmas distinções, mas com terminologia diferente, chamando cada definição de "hipótese" () e cada noção comum de "axioma" (). O segundo grupo consiste em proposições, apresentadas juntamente com provas matemáticas e diagramas. Não se sabe se Euclides pretendia que os Elementos fosse um livro-texto, apesar de seu amplo uso subsequente como tal. Como um todo, a voz autoral permanece geral e impessoal. +Postulados de Euclides e noção comumsPostuladosQue sejam postulados os seguintes:1Traçar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer ponto.2Produzir uma linha reta finita continuamente em uma linha reta3Para descrever um círculo com qualquer centro e distância4Que todos os ângulos retos são iguais entre si5Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas fizer os ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se naquele lado no qual estão os ângulos menores do que os dois ângulos retos Noções comuns1Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si2Se iguais forem somados a iguais, os todos são iguais3Se iguais forem subtraídos de iguais, os restos são iguais4Coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si5O todo é maior que a parte

Livros I a VI: Geometria plana

Livro I miniaturadaimagem|5º postulado de Euclides: A linha incide sobre as duas linhas e , fazendo ângulos internos e que somam menos de 180°, então as linhas e devem se encontrar em algum ponto no mesmo lado de que os ângulos. miniaturadaimagem|Livro I, Proposição I: Construção de um triângulo equilátero com lado de comprimento AB com régua e compasso. miniaturadaimagem|A Cadeira da Noiva da prova do teorema de Pitágoras, na versão colorida usada pela edição de 1847 de Byrne. A prova mostra que as áreas preta e amarela são iguais, assim como as áreas vermelha e azul. O Livro I dos Elementos é fundamental para todo o texto. Ele começa com uma série de 20 definições para conceitos geométricos básicos como pontos, linhas, ângulos e vários polígonos regulares. Euclides então apresenta 10 suposições (ver tabela, à direita), agrupadas em cinco postulados e cinco noções comuns. Essas suposições destinam-se a fornecer a base lógica para cada teorema subsequente, ou seja, servem como um sistema axiomático. As noções comuns dizem respeito exclusivamente à comparação de magnitudes, os tamanhos de objetos geométricos. Na matemática moderna, essas grandezas seriam tratadas como números reais medindo comprimento de arco, ângulo ou área, e comparadas numericamente, mas Euclides, em vez disso, encontrou maneiras de comparar a magnitude de formas usando operações geométricas, sem interpretar essas grandezas como números. Enquanto os primeiros quatro postulados são relativamente diretos, o quinto não é. É conhecido como o postulado das paralelas, e a questão de sua independência dos outros quatro postulados tornou-se o foco de uma longa linha de pesquisa que levou ao desenvolvimento da geometria não euclidiana.

O Livro I também inclui 48 proposições, que podem ser vagamente divididas em: teoremas básicos e construções de geometria plana e congruência de triângulos (1–26), linhas paralelas (27–34), a área de triângulos e paralelogramos (35–45), e o teorema de Pitágoras e seu recíproco (46–48).

A Proposição 5, que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, tornou-se conhecida na Idade Média como a , ou ponte dos asnos, separando os matemáticos que podiam prová-la dos tolos que não podiam. O Papiro Oxirrinco 29, um papiro do século III d.C., contém fragmentos das proposições 8–11 e 14–25. As duas últimas proposições do Livro I compreendem a mais antiga prova sobrevivente do teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notavelmente delicada". A figura para o teorema de Pitágoras tornou-se ela própria bem conhecida sob múltiplos nomes: a Cadeira da Noiva, o moinho de vento, ou a cauda do pavão.

Livro II miniaturadaimagem|Subdivisão de Euclides do segmento de reta na razão áurea do Livro II Proposição 11, com um arco adicionado ao diagrama tradicional. A construção encontra o ponto médio do lado do quadrado , intersecta a linha em com um círculo de raio , e constrói um segundo quadrado , cujo vértice é o ponto de subdivisão. O segundo livro foca em área, medida através da quadratura, significando a construção de um quadrado de área igual a uma figura dada. Inclui um precursor geométrico da lei dos cossenos, e culmina na quadratura de retângulos arbitrários. No final do século XIX e XX, o Livro II foi interpretado por alguns historiadores da matemática como estabelecendo uma "álgebra geométrica", uma expressão da manipulação algébrica de equações lineares e quadráticas em termos de conceitos geométricos de comprimento e área, centrada no caso quadrático do teorema binomial. Esta interpretação tem sido fortemente debatida desde a década de 1970; críticos descrevem a caracterização como anacrônica, uma vez que as fundações mesmo da álgebra nascente ocorreram muitos séculos depois. No entanto, tomadas como declarações sobre geometria, muitas das proposições neste livro são supérfluas para a matemática moderna, pois podem ser subsumidas pelo uso da álgebra.

A Proposição 11 do Livro II subdivide um segmento de reta dado em extrema e média razão, agora chamada de razão áurea. É a primeira de várias proposições envolvendo esta razão: É mais tarde usada no Livro IV para construir um triângulo áureo e um pentágono regular e no Livro XIII para construir o dodecaedro regular e o icosaedro regular, e estudada como uma razão no Livro VI Proposição 30.

Livro III O Livro III começa com uma lista de 11 definições, e segue com 37 proposições que lidam com círculos e suas propriedades. A Proposição 1 é sobre encontrar o centro de um círculo. As proposições 2 a 15 dizem respeito a cordas, e círculos intersectantes e tangentes. Retas tangentes a círculos são os assuntos das proposições 16 a 19. Em seguida, estão proposições sobre ângulos inscritos (20 a 22), e sobre cordas, arcos e ângulos (23 a 30), incluindo o teorema do ângulo inscrito relacionando ângulos inscritos a ângulos centrais como proposição 20. As proposições 31 a 34 dizem respeito a ângulos em círculos, incluindo o teorema de Tales de que um ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto (parte da proposição 31). As proposições restantes, 35 a 37, dizem respeito a cordas e tangentes que se intersectam; a proposição 35 é o teorema das cordas intersectantes, e a proposição 36 é o teorema da tangente-secante.

Livro IV